Theorem ltbtwnpq 5067

Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120.

Hypotheses

Ref	Expression
ltbtwnpq.1	|- A e. V
ltbtwnpq.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
ltbtwnpq	|- (A <Q B -> E.x(A <Q x /\ x <Q B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem ltbtwnpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltbtwnpq.2	. . 3 |- B e. V
2		ltrelpq 5034	. . 3 |- <Q (_ (Q. X. Q.)
3	1, 2	brel 3219	. 2 |- (A <Q B -> (A e. Q. /\ B e. Q.))
4		ltbtwnpq.1	. . . 4 |- A e. V
5	4	ltexpq 5063	. . 3 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A <Q B <-> E.y(A +Q y) = B))
6		eleq1 1532	. . . . . . . 8 |- ((A +Q y) = B -> ((A +Q y) e. Q. <-> B e. Q.))
7		visset 1810	. . . . . . . . 9 |- y e. V
8		dmaddpq 5042	. . . . . . . . 9 |- dom +Q = (Q. X. Q.)
9		0npq 5033	. . . . . . . . 9 |- -. (/) e. Q.
10	7, 8, 9	ndmoprrcl 4041	. . . . . . . 8 |- ((A +Q y) e. Q. -> (A e. Q. /\ y e. Q.))
11	6, 10	syl6bir 215	. . . . . . 7 |- ((A +Q y) = B -> (B e. Q. -> (A e. Q. /\ y e. Q.)))
12		halfpq 5065	. . . . . . . . . 10 |- (y e. Q. -> E.z(z +Q z) = y)
13	12	adantl 388	. . . . . . . . 9 |- ((A e. Q. /\ y e. Q.) -> E.z(z +Q z) = y)
14		opreq2 3964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((z +Q z) = y -> (A +Q (z +Q z)) = (A +Q y))
15	14	eqeq1d 1481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((z +Q z) = y -> ((A +Q (z +Q z)) = B <-> (A +Q y) = B))
16		breq2 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A +Q (z +Q z)) = B -> ((A +Q z) <Q (A +Q (z +Q z)) <-> (A +Q z) <Q B))
17		oprex 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A +Q z) e. V
18		visset 1810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- z e. V
19	17, 18	ltaddpq 5062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((A +Q z) e. Q. /\ z e. Q.) -> (A +Q z) <Q ((A +Q z) +Q z))
20	18, 18	addasspq 5046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((A +Q z) +Q z) = (A +Q (z +Q z))
21	19, 20	syl6breq 2650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A +Q z) e. Q. /\ z e. Q.) -> (A +Q z) <Q (A +Q (z +Q z)))
22	16, 21	syl5bi 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A +Q (z +Q z)) = B -> (((A +Q z) e. Q. /\ z e. Q.) -> (A +Q z) <Q B))
23	15, 22	syl6bir 215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z +Q z) = y -> ((A +Q y) = B -> (((A +Q z) e. Q. /\ z e. Q.) -> (A +Q z) <Q B)))
24		addclpq 5041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. Q. /\ z e. Q.) -> (A +Q z) e. Q.)
25		pm3.27 323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. Q. /\ z e. Q.) -> z e. Q.)
26	24, 25	jca 288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. Q. /\ z e. Q.) -> ((A +Q z) e. Q. /\ z e. Q.))
27	23, 26	syl7 23	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z +Q z) = y -> ((A +Q y) = B -> ((A e. Q. /\ z e. Q.) -> (A +Q z) <Q B)))
28	4, 18	ltaddpq 5062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. Q. /\ z e. Q.) -> A <Q (A +Q z))
29		pm3.43i 287	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A e. Q. /\ z e. Q.) -> A <Q (A +Q z)) -> (((A e. Q. /\ z e. Q.) -> (A +Q z) <Q B) -> ((A e. Q. /\ z e. Q.) -> (A <Q (A +Q z) /\ (A +Q z) <Q B))))
30	28, 29	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. Q. /\ z e. Q.) -> (A +Q z) <Q B) -> ((A e. Q. /\ z e. Q.) -> (A <Q (A +Q z) /\ (A +Q z) <Q B)))
31	27, 30	syl6 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z +Q z) = y -> ((A +Q y) = B -> ((A e. Q. /\ z e. Q.) -> (A <Q (A +Q z) /\ (A +Q z) <Q B))))
32		breq2 2619	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = (A +Q z) -> (A <Q x <-> A <Q (A +Q z)))
33		breq1 2618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = (A +Q z) -> (x <Q B <-> (A +Q z) <Q B))
34	32, 33	anbi12d 627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = (A +Q z) -> ((A <Q x /\ x <Q B) <-> (A <Q (A +Q z) /\ (A +Q z) <Q B)))
35	17, 34	cla4ev 1866	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A <Q (A +Q z) /\ (A +Q z) <Q B) -> E.x(A <Q x /\ x <Q B))
36	31, 35	syl8 24	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z +Q z) = y -> ((A +Q y) = B -> ((A e. Q. /\ z e. Q.) -> E.x(A <Q x /\ x <Q B))))
37	36	com23 32	. . . . . . . . . . 11 |- ((z +Q z) = y -> ((A e. Q. /\ z e. Q.) -> ((A +Q y) = B -> E.x(A <Q x /\ x <Q B))))
38		eleq1 1532	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z +Q z) = y -> ((z +Q z) e. Q. <-> y e. Q.))
39	18, 8, 9	ndmoprrcl 4041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z +Q z) e. Q. -> (z e. Q. /\ z e. Q.))
40	39	pm3.26d 321	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z +Q z) e. Q. -> z e. Q.)
41	38, 40	syl6bir 215	. . . . . . . . . . 11 |- ((z +Q z) = y -> (y e. Q. -> z e. Q.))
42	37, 41	sylan2d 458	. . . . . . . . . 10 |- ((z +Q z) = y -> ((A e. Q. /\ y e. Q.) -> ((A +Q y) = B -> E.x(A <Q x /\ x <Q B))))
43	42	19.23aiv 1294	. . . . . . . . 9 |- (E.z(z +Q z) = y -> ((A e. Q. /\ y e. Q.) -> ((A +Q y) = B -> E.x(A <Q x /\ x <Q B))))
44	13, 43	mpcom 49	. . . . . . . 8 |- ((A e. Q. /\ y e. Q.) -> ((A +Q y) = B -> E.x(A <Q x /\ x <Q B)))
45	44	com12 11	. . . . . . 7 |- ((A +Q y) = B -> ((A e. Q. /\ y e. Q.) -> E.x(A <Q x /\ x <Q B)))
46	11, 45	syld 27	. . . . . 6 |- ((A +Q y) = B -> (B e. Q. -> E.x(A <Q x /\ x <Q B)))
47	46	com12 11	. . . . 5 |- (B e. Q. -> ((A +Q y) = B -> E.x(A <Q x /\ x <Q B)))
48	47	adantl 388	. . . 4 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> ((A +Q y) = B -> E.x(A <Q x /\ x <Q B)))
49	48	19.23adv 1213	. . 3 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (E.y(A +Q y) = B -> E.x(A <Q x /\ x <Q B)))
50	5, 49	sylbid 203	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A <Q B -> E.x(A <Q x /\ x <Q B)))
51	3, 50	mpcom 49	1 |- (A <Q B -> E.x(A <Q x /\ x <Q B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979  Vcvv 1808   class class class wbr 2615  (class class class)co 3958  Q.cnq 4962   +Q cplq 4964   <Q cltq 4967

This theorem is referenced by:  1pr 5100  reclem2pr 5140

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-ltq 5025  df-1q 5026

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