Theorem ltdivp1 5869

Description: Less-than and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.)

Hypotheses

Ref	Expression
ledivp1.1	|- A e. RR
ledivp1.2	|- B e. RR
ledivp1.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
ltdivp1	|- ((0 <_ A /\ 0 <_ C /\ A < (B / (C + 1))) -> (A x. C) < B)

Proof of Theorem ltdivp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ledivp1.1	. . . 4 |- A e. RR
2		ledivp1.3	. . . 4 |- C e. RR
3	1, 2	remulcl 5322	. . 3 |- (A x. C) e. RR
4		1re 5422	. . . . 5 |- 1 e. RR
5	2, 4	readdcl 5321	. . . 4 |- (C + 1) e. RR
6	1, 5	remulcl 5322	. . 3 |- (A x. (C + 1)) e. RR
7		ledivp1.2	. . 3 |- B e. RR
8	3, 6, 7	lelttr 5574	. 2 |- (((A x. C) <_ (A x. (C + 1)) /\ (A x. (C + 1)) < B) -> (A x. C) < B)
9	2	ltp1 5783	. . . . 5 |- C < (C + 1)
10	2, 5, 9	ltlei 5568	. . . 4 |- C <_ (C + 1)
11		lemul2itOLD 5810	. . . . . 6 |- (((C e. RR /\ (C + 1) e. RR /\ A e. RR) /\ (0 <_ A /\ C <_ (C + 1))) -> (A x. C) <_ (A x. (C + 1)))
12	11	ex 373	. . . . 5 |- ((C e. RR /\ (C + 1) e. RR /\ A e. RR) -> ((0 <_ A /\ C <_ (C + 1)) -> (A x. C) <_ (A x. (C + 1))))
13	2, 5, 1, 12	mp3an 915	. . . 4 |- ((0 <_ A /\ C <_ (C + 1)) -> (A x. C) <_ (A x. (C + 1)))
14	10, 13	mpan2 695	. . 3 |- (0 <_ A -> (A x. C) <_ (A x. (C + 1)))
15	14	3ad2ant1 799	. 2 |- ((0 <_ A /\ 0 <_ C /\ A < (B / (C + 1))) -> (A x. C) <_ (A x. (C + 1)))
16		0re 5427	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
17	16, 2, 5	lelttr 5574	. . . . . . 7 |- ((0 <_ C /\ C < (C + 1)) -> 0 < (C + 1))
18	9, 17	mpan2 695	. . . . . 6 |- (0 <_ C -> 0 < (C + 1))
19	5	gt0ne0 5599	. . . . . . . . 9 |- (0 < (C + 1) -> (C + 1) =/= 0)
20	7, 5	redivclz 5769	. . . . . . . . 9 |- ((C + 1) =/= 0 -> (B / (C + 1)) e. RR)
21	19, 20	syl 10	. . . . . . . 8 |- (0 < (C + 1) -> (B / (C + 1)) e. RR)
22		ltmul1t 5800	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ (B / (C + 1)) e. RR /\ (C + 1) e. RR) /\ 0 < (C + 1)) -> (A < (B / (C + 1)) <-> (A x. (C + 1)) < ((B / (C + 1)) x. (C + 1))))
23	1, 22	mp3anl1 909	. . . . . . . . 9 |- ((((B / (C + 1)) e. RR /\ (C + 1) e. RR) /\ 0 < (C + 1)) -> (A < (B / (C + 1)) <-> (A x. (C + 1)) < ((B / (C + 1)) x. (C + 1))))
24	5, 23	mpanl2 706	. . . . . . . 8 |- (((B / (C + 1)) e. RR /\ 0 < (C + 1)) -> (A < (B / (C + 1)) <-> (A x. (C + 1)) < ((B / (C + 1)) x. (C + 1))))
25	21, 24	mpancom 704	. . . . . . 7 |- (0 < (C + 1) -> (A < (B / (C + 1)) <-> (A x. (C + 1)) < ((B / (C + 1)) x. (C + 1))))
26	25	biimpd 153	. . . . . 6 |- (0 < (C + 1) -> (A < (B / (C + 1)) -> (A x. (C + 1)) < ((B / (C + 1)) x. (C + 1))))
27	18, 26	syl 10	. . . . 5 |- (0 <_ C -> (A < (B / (C + 1)) -> (A x. (C + 1)) < ((B / (C + 1)) x. (C + 1))))
28	27	imp 350	. . . 4 |- ((0 <_ C /\ A < (B / (C + 1))) -> (A x. (C + 1)) < ((B / (C + 1)) x. (C + 1)))
29	5	recn 5301	. . . . . . 7 |- (C + 1) e. CC
30	7	recn 5301	. . . . . . 7 |- B e. CC
31	29, 30	divcan1z 5701	. . . . . 6 |- ((C + 1) =/= 0 -> ((B / (C + 1)) x. (C + 1)) = B)
32	18, 19, 31	3syl 20	. . . . 5 |- (0 <_ C -> ((B / (C + 1)) x. (C + 1)) = B)
33	32	adantr 389	. . . 4 |- ((0 <_ C /\ A < (B / (C + 1))) -> ((B / (C + 1)) x. (C + 1)) = B)
34	28, 33	breqtrd 2636	. . 3 |- ((0 <_ C /\ A < (B / (C + 1))) -> (A x. (C + 1)) < B)
35	34	3adant1 796	. 2 |- ((0 <_ A /\ 0 <_ C /\ A < (B / (C + 1))) -> (A x. (C + 1)) < B)
36	8, 15, 35	sylanc 471	1 |- ((0 <_ A /\ 0 <_ C /\ A < (B / (C + 1))) -> (A x. C) < B)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957   =/= wne 1584   class class class wbr 2616  (class class class)co 3960  RRcr 5220  0cc0 5221  1c1 5222   + caddc 5224   x. cmul 5226   / cdiv 5281   <_ cle 5282   < clt 5473

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-div 5686

Copyright terms: Public domain