Theorem ltdivp1i 6052

Description: Less-than and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.)

Hypotheses

Ref	Expression
ledivp1.1	|- A e. RR
ledivp1.2	|- B e. RR
ledivp1.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
ltdivp1i	|- ((0 <_ A /\ 0 <_ C /\ A < (B / (C + 1))) -> (A x. C) < B)

Proof of Theorem ltdivp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ledivp1.1	. . . 4 |- A e. RR
2		ledivp1.3	. . . 4 |- C e. RR
3	1, 2	remulcli 5489	. . 3 |- (A x. C) e. RR
4		1re 5589	. . . . 5 |- 1 e. RR
5	2, 4	readdcli 5488	. . . 4 |- (C + 1) e. RR
6	1, 5	remulcli 5489	. . 3 |- (A x. (C + 1)) e. RR
7		ledivp1.2	. . 3 |- B e. RR
8	3, 6, 7	lelttri 5740	. 2 |- (((A x. C) <_ (A x. (C + 1)) /\ (A x. (C + 1)) < B) -> (A x. C) < B)
9	2	ltp1i 5953	. . . . . . 7 |- C < (C + 1)
10	2, 5, 9	ltleii 5735	. . . . . 6 |- C <_ (C + 1)
11		lemul2a 5983	. . . . . 6 |- (((C e. RR /\ (C + 1) e. RR /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ C <_ (C + 1)) -> (A x. C) <_ (A x. (C + 1)))
12	10, 11	mpan2 700	. . . . 5 |- ((C e. RR /\ (C + 1) e. RR /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (A x. C) <_ (A x. (C + 1)))
13	2, 5, 12	mp3an12 912	. . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (A x. C) <_ (A x. (C + 1)))
14	1, 13	mpan 699	. . 3 |- (0 <_ A -> (A x. C) <_ (A x. (C + 1)))
15	14	3ad2ant1 806	. 2 |- ((0 <_ A /\ 0 <_ C /\ A < (B / (C + 1))) -> (A x. C) <_ (A x. (C + 1)))
16		0re 5594	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
17	16, 2, 5	lelttri 5740	. . . . . . 7 |- ((0 <_ C /\ C < (C + 1)) -> 0 < (C + 1))
18	9, 17	mpan2 700	. . . . . 6 |- (0 <_ C -> 0 < (C + 1))
19	5	gt0ne0i 5765	. . . . . . . . 9 |- (0 < (C + 1) -> (C + 1) =/= 0)
20	7, 5	redivclzi 5939	. . . . . . . . 9 |- ((C + 1) =/= 0 -> (B / (C + 1)) e. RR)
21	19, 20	syl 10	. . . . . . . 8 |- (0 < (C + 1) -> (B / (C + 1)) e. RR)
22		ltmul1 5970	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ (B / (C + 1)) e. RR /\ ((C + 1) e. RR /\ 0 < (C + 1))) -> (A < (B / (C + 1)) <-> (A x. (C + 1)) < ((B / (C + 1)) x. (C + 1))))
23	1, 22	mp3an1 909	. . . . . . . . 9 |- (((B / (C + 1)) e. RR /\ ((C + 1) e. RR /\ 0 < (C + 1))) -> (A < (B / (C + 1)) <-> (A x. (C + 1)) < ((B / (C + 1)) x. (C + 1))))
24	5, 23	mpanr1 713	. . . . . . . 8 |- (((B / (C + 1)) e. RR /\ 0 < (C + 1)) -> (A < (B / (C + 1)) <-> (A x. (C + 1)) < ((B / (C + 1)) x. (C + 1))))
25	21, 24	mpancom 709	. . . . . . 7 |- (0 < (C + 1) -> (A < (B / (C + 1)) <-> (A x. (C + 1)) < ((B / (C + 1)) x. (C + 1))))
26	25	biimpd 151	. . . . . 6 |- (0 < (C + 1) -> (A < (B / (C + 1)) -> (A x. (C + 1)) < ((B / (C + 1)) x. (C + 1))))
27	18, 26	syl 10	. . . . 5 |- (0 <_ C -> (A < (B / (C + 1)) -> (A x. (C + 1)) < ((B / (C + 1)) x. (C + 1))))
28	27	imp 348	. . . 4 |- ((0 <_ C /\ A < (B / (C + 1))) -> (A x. (C + 1)) < ((B / (C + 1)) x. (C + 1)))
29	7	recni 5468	. . . . . . 7 |- B e. CC
30	5	recni 5468	. . . . . . 7 |- (C + 1) e. CC
31	29, 30	divcan1zi 5870	. . . . . 6 |- ((C + 1) =/= 0 -> ((B / (C + 1)) x. (C + 1)) = B)
32	18, 19, 31	3syl 20	. . . . 5 |- (0 <_ C -> ((B / (C + 1)) x. (C + 1)) = B)
33	32	adantr 389	. . . 4 |- ((0 <_ C /\ A < (B / (C + 1))) -> ((B / (C + 1)) x. (C + 1)) = B)
34	28, 33	breqtrd 2712	. . 3 |- ((0 <_ C /\ A < (B / (C + 1))) -> (A x. (C + 1)) < B)
35	34	3adant1 803	. 2 |- ((0 <_ A /\ 0 <_ C /\ A < (B / (C + 1))) -> (A x. (C + 1)) < B)
36	8, 15, 35	sylanc 473	1 |- ((0 <_ A /\ 0 <_ C /\ A < (B / (C + 1))) -> (A x. C) < B)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   /\ w3a 781   = wceq 992   e. wcel 994   =/= wne 1628   class class class wbr 2692  (class class class)co 4021  RRcr 5387  0cc0 5388  1c1 5389   + caddc 5391   x. cmul 5393   / cdiv 5448   <_ cle 5449   < clt 5640

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-div 5855

Copyright terms: Public domain