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Theorem ltexnq 8812
 Description: Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. Definition in Proposition 9-2.6 of [Gleason] p. 119. (Contributed by NM, 24-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltexnq
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem ltexnq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 8763 . . . 4
21brel 4889 . . 3
3 ordpinq 8780 . . . 4
4 elpqn 8762 . . . . . . . . 9
54adantr 452 . . . . . . . 8
6 xp1st 6339 . . . . . . . 8
75, 6syl 16 . . . . . . 7
8 elpqn 8762 . . . . . . . . 9
98adantl 453 . . . . . . . 8
10 xp2nd 6340 . . . . . . . 8
119, 10syl 16 . . . . . . 7
12 mulclpi 8730 . . . . . . 7
137, 11, 12syl2anc 643 . . . . . 6
14 xp1st 6339 . . . . . . . 8
159, 14syl 16 . . . . . . 7
16 xp2nd 6340 . . . . . . . 8
175, 16syl 16 . . . . . . 7
18 mulclpi 8730 . . . . . . 7
1915, 17, 18syl2anc 643 . . . . . 6
20 ltexpi 8739 . . . . . 6
2113, 19, 20syl2anc 643 . . . . 5
22 relxp 4946 . . . . . . . . . . . 12
234ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12
24 1st2nd 6356 . . . . . . . . . . . 12
2522, 23, 24sylancr 645 . . . . . . . . . . 11
2625oveq1d 6059 . . . . . . . . . 10
277adantr 452 . . . . . . . . . . 11
2817adantr 452 . . . . . . . . . . 11
29 simpr 448 . . . . . . . . . . 11
30 mulclpi 8730 . . . . . . . . . . . . 13
3117, 11, 30syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
3231adantr 452 . . . . . . . . . . 11
33 addpipq 8774 . . . . . . . . . . 11
3427, 28, 29, 32, 33syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10
3526, 34eqtrd 2440 . . . . . . . . 9
36 oveq2 6052 . . . . . . . . . . . 12
37 distrpi 8735 . . . . . . . . . . . . 13
38 fvex 5705 . . . . . . . . . . . . . . 15
39 fvex 5705 . . . . . . . . . . . . . . 15
40 fvex 5705 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 mulcompi 8733 . . . . . . . . . . . . . . 15
42 mulasspi 8734 . . . . . . . . . . . . . . 15
4338, 39, 40, 41, 42caov12 6238 . . . . . . . . . . . . . 14
44 mulcompi 8733 . . . . . . . . . . . . . 14
4543, 44oveq12i 6056 . . . . . . . . . . . . 13
4637, 45eqtr2i 2429 . . . . . . . . . . . 12
47 mulasspi 8734 . . . . . . . . . . . . 13
48 mulcompi 8733 . . . . . . . . . . . . . 14
4948oveq2i 6055 . . . . . . . . . . . . 13
5047, 49eqtri 2428 . . . . . . . . . . . 12
5136, 46, 503eqtr4g 2465 . . . . . . . . . . 11
52 mulasspi 8734 . . . . . . . . . . . . 13
5352eqcomi 2412 . . . . . . . . . . . 12
5453a1i 11 . . . . . . . . . . 11
5551, 54opeq12d 3956 . . . . . . . . . 10
5655eqeq2d 2419 . . . . . . . . 9
5735, 56syl5ibcom 212 . . . . . . . 8
58 fveq2 5691 . . . . . . . . 9
59 adderpq 8793 . . . . . . . . . . 11
60 nqerid 8770 . . . . . . . . . . . . 13
6160ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12
6261oveq1d 6059 . . . . . . . . . . 11
6359, 62syl5eqr 2454 . . . . . . . . . 10
64 mulclpi 8730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6517, 17, 64syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
6715adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
6811adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
69 mulcanenq 8797 . . . . . . . . . . . . . 14
7066, 67, 68, 69syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13
718ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14
72 1st2nd 6356 . . . . . . . . . . . . . 14
7322, 71, 72sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13
7470, 73breqtrrd 4202 . . . . . . . . . . . 12
75 mulclpi 8730 . . . . . . . . . . . . . . 15
7666, 67, 75syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
77 mulclpi 8730 . . . . . . . . . . . . . . 15
7866, 68, 77syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
79 opelxpi 4873 . . . . . . . . . . . . . 14
8076, 78, 79syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13
81 nqereq 8772 . . . . . . . . . . . . 13
8280, 71, 81syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
8374, 82mpbid 202 . . . . . . . . . . 11
84 nqerid 8770 . . . . . . . . . . . 12
8584ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11
8683, 85eqtrd 2440 . . . . . . . . . 10
8763, 86eqeq12d 2422 . . . . . . . . 9
8858, 87syl5ib 211 . . . . . . . 8
8957, 88syld 42 . . . . . . 7
90 fvex 5705 . . . . . . . 8
91 oveq2 6052 . . . . . . . . 9
9291eqeq1d 2416 . . . . . . . 8
9390, 92spcev 3007 . . . . . . 7
9489, 93syl6 31 . . . . . 6
9594rexlimdva 2794 . . . . 5
9621, 95sylbid 207 . . . 4
973, 96sylbid 207 . . 3
982, 97mpcom 34 . 2
99 eleq1 2468 . . . . . . 7
10099biimparc 474 . . . . . 6
101 addnqf 8785 . . . . . . . 8
102101fdmi 5559 . . . . . . 7
103 0nnq 8761 . . . . . . 7
104102, 103ndmovrcl 6196 . . . . . 6
105 ltaddnq 8811 . . . . . 6
106100, 104, 1053syl 19 . . . . 5
107 simpr 448 . . . . 5
108106, 107breqtrd 4200 . . . 4
109108ex 424 . . 3
110109exlimdv 1643 . 2
11198, 110impbid2 196 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359  wex 1547   wceq 1649   wcel 1721  wrex 2671  cop 3781   class class class wbr 4176   cxp 4839   wrel 4846  cfv 5417  (class class class)co 6044  c1st 6310  c2nd 6311  cnpi 8679   cpli 8680   cmi 8681   clti 8682   cplpq 8683   ceq 8686  cnq 8687  cerq 8689   cplq 8690   cltq 8693 This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  8815  prnmadd  8834  ltexprlem4  8876  ltexprlem7  8879  prlem936  8884 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6868  df-ni 8709  df-pli 8710  df-mi 8711  df-lti 8712  df-plpq 8745  df-mpq 8746  df-ltpq 8747  df-enq 8748  df-nq 8749  df-erq 8750  df-plq 8751  df-mq 8752  df-1nq 8753  df-ltnq 8755
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