Theorem ltexpq2 5093

Description: Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. Definition in Proposition 9-2.6 of [Gleason] p. 119.

Hypothesis

Ref	Expression
ltexpq2.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
ltexpq2	|- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A <Q B <-> E.x(x e. Q. /\ (A +Q x) = B)))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem ltexpq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexpq2.1	. . 3 |- A e. V
2	1	ltexpq 5092	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A <Q B <-> E.x(A +Q x) = B))
3		pm3.27 323	. . . 4 |- ((x e. Q. /\ (A +Q x) = B) -> (A +Q x) = B)
4		eleq1 1537	. . . . . . . 8 |- ((A +Q x) = B -> ((A +Q x) e. Q. <-> B e. Q.))
5		visset 1816	. . . . . . . . . 10 |- x e. V
6		dmaddpq 5071	. . . . . . . . . 10 |- dom +Q = (Q. X. Q.)
7		0npq 5062	. . . . . . . . . 10 |- -. (/) e. Q.
8	5, 6, 7	ndmoprrcl 4052	. . . . . . . . 9 |- ((A +Q x) e. Q. -> (A e. Q. /\ x e. Q.))
9	8	pm3.27d 325	. . . . . . . 8 |- ((A +Q x) e. Q. -> x e. Q.)
10	4, 9	syl6bir 215	. . . . . . 7 |- ((A +Q x) = B -> (B e. Q. -> x e. Q.))
11	10	com12 11	. . . . . 6 |- (B e. Q. -> ((A +Q x) = B -> x e. Q.))
12	11	ancrd 299	. . . . 5 |- (B e. Q. -> ((A +Q x) = B -> (x e. Q. /\ (A +Q x) = B)))
13	12	adantl 390	. . . 4 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> ((A +Q x) = B -> (x e. Q. /\ (A +Q x) = B)))
14	3, 13	impbid2 520	. . 3 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> ((x e. Q. /\ (A +Q x) = B) <-> (A +Q x) = B))
15	14	exbidv 1281	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (E.x(x e. Q. /\ (A +Q x) = B) <-> E.x(A +Q x) = B))
16	2, 15	bitr4d 533	1 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A <Q B <-> E.x(x e. Q. /\ (A +Q x) = B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  Vcvv 1814   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  Q.cnq 4991   +Q cplq 4993   <Q cltq 4996

This theorem is referenced by:  prlem936 5167

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-ltq 5054  df-1q 5055

Copyright terms: Public domain