Theorem ltexpri 5161

Description: Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123.

Hypothesis

Ref	Expression
ltexpri.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
ltexpri	|- (A <P B -> E.x(x e. P. /\ (A +P. x) = B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem ltexpri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexpri.1	. . 3 |- B e. V
2		ltrelpr 5113	. . 3 |- <P (_ (P. X. P.)
3	1, 2	brel 3229	. 2 |- (A <P B -> (A e. P. /\ B e. P.))
4		ltprord 5146	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A <P B <-> A (. B))
5		opreq2 3975	. . . . . . . 8 |- (x = {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)} -> (A +P. x) = (A +P. {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)}))
6	5	eqeq1d 1486	. . . . . . 7 |- (x = {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)} -> ((A +P. x) = B <-> (A +P. {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)}) = B))
7	6	cla4egv 1866	. . . . . 6 |- ({y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)} e. P. -> ((A +P. {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)}) = B -> E.x(A +P. x) = B))
8		opreq2 3975	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = z -> (w +Q y) = (w +Q z))
9	8	eleq1d 1543	. . . . . . . . . . 11 |- (y = z -> ((w +Q y) e. B <-> (w +Q z) e. B))
10	9	anbi2d 618	. . . . . . . . . 10 |- (y = z -> ((-. w e. A /\ (w +Q y) e. B) <-> (-. w e. A /\ (w +Q z) e. B)))
11	10	exbidv 1281	. . . . . . . . 9 |- (y = z -> (E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B) <-> E.w(-. w e. A /\ (w +Q z) e. B)))
12	11	cbvabv 1912	. . . . . . . 8 |- {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)} = {z | E.w(-. w e. A /\ (w +Q z) e. B)}
13	12	ltexprlem5 5158	. . . . . . 7 |- ((B e. P. /\ A (. B) -> {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)} e. P.)
14	13	adantll 394	. . . . . 6 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ A (. B) -> {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)} e. P.)
15	12	ltexprlem6 5159	. . . . . . 7 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ A (. B) -> (A +P. {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)}) (_ B)
16	12	ltexprlem7 5160	. . . . . . 7 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ A (. B) -> B (_ (A +P. {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)}))
17	15, 16	eqssd 2082	. . . . . 6 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ A (. B) -> (A +P. {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)}) = B)
18	7, 14, 17	sylc 68	. . . . 5 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ A (. B) -> E.x(A +P. x) = B)
19	18	ex 373	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A (. B -> E.x(A +P. x) = B))
20	4, 19	sylbid 203	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A <P B -> E.x(A +P. x) = B))
21		eleq1 1537	. . . . . . . 8 |- ((A +P. x) = B -> ((A +P. x) e. P. <-> B e. P.))
22		visset 1816	. . . . . . . . . 10 |- x e. V
23		dmplp 5127	. . . . . . . . . 10 |- dom +P. = (P. X. P.)
24		0npr 5108	. . . . . . . . . 10 |- -. (/) e. P.
25	22, 23, 24	ndmoprrcl 4052	. . . . . . . . 9 |- ((A +P. x) e. P. -> (A e. P. /\ x e. P.))
26	25	pm3.27d 325	. . . . . . . 8 |- ((A +P. x) e. P. -> x e. P.)
27	21, 26	syl6bir 215	. . . . . . 7 |- ((A +P. x) = B -> (B e. P. -> x e. P.))
28	27	com12 11	. . . . . 6 |- (B e. P. -> ((A +P. x) = B -> x e. P.))
29	28	adantl 390	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((A +P. x) = B -> x e. P.))
30	29	ancrd 299	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((A +P. x) = B -> (x e. P. /\ (A +P. x) = B)))
31	30	19.22dv 1292	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (E.x(A +P. x) = B -> E.x(x e. P. /\ (A +P. x) = B)))
32	20, 31	syld 27	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A <P B -> E.x(x e. P. /\ (A +P. x) = B)))
33	3, 32	mpcom 49	1 |- (A <P B -> E.x(x e. P. /\ (A +P. x) = B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  {cab 1466  Vcvv 1814   (. wpss 2051   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969   +Q cplq 4993  P.cnp 4997   +P. cpp 4999   <P cltp 5001

This theorem is referenced by:  ltaprlem 5162  recexsrlem 5224  mulgt0sr 5226  map2psrpr 5232

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-plp 5100  df-ltp 5102

Copyright terms: Public domain