MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexpri Unicode version

Theorem ltexpri 8547
Description: Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltexpri  |-  ( A 
<P  B  ->  E. x  e.  P.  ( A  +P.  x )  =  B )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem ltexpri
StepHypRef Expression
1 ltrelpr 8502 . . 3  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
21brel 4644 . 2  |-  ( A 
<P  B  ->  ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. ) )
3 ltprord 8534 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  <P  B  <->  A  C.  B ) )
4 oveq2 5718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
w  +Q  y )  =  ( w  +Q  z ) )
54eleq1d 2319 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
( w  +Q  y
)  e.  B  <->  ( w  +Q  z )  e.  B
) )
65anbi2d 687 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
( -.  w  e.  A  /\  ( w  +Q  y )  e.  B )  <->  ( -.  w  e.  A  /\  ( w  +Q  z
)  e.  B ) ) )
76exbidv 2005 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( E. w ( -.  w  e.  A  /\  (
w  +Q  y )  e.  B )  <->  E. w
( -.  w  e.  A  /\  ( w  +Q  z )  e.  B ) ) )
87cbvabv 2368 . . . . . . 7  |-  { y  |  E. w ( -.  w  e.  A  /\  ( w  +Q  y
)  e.  B ) }  =  { z  |  E. w ( -.  w  e.  A  /\  ( w  +Q  z
)  e.  B ) }
98ltexprlem5 8544 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  ->  { y  |  E. w ( -.  w  e.  A  /\  (
w  +Q  y )  e.  B ) }  e.  P. )
109adantll 697 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  { y  |  E. w ( -.  w  e.  A  /\  ( w  +Q  y
)  e.  B ) }  e.  P. )
118ltexprlem6 8545 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  ( A  +P.  { y  |  E. w
( -.  w  e.  A  /\  ( w  +Q  y )  e.  B ) } ) 
C_  B )
128ltexprlem7 8546 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  B  C_  ( A  +P.  { y  |  E. w ( -.  w  e.  A  /\  ( w  +Q  y
)  e.  B ) } ) )
1311, 12eqssd 3117 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  ( A  +P.  { y  |  E. w
( -.  w  e.  A  /\  ( w  +Q  y )  e.  B ) } )  =  B )
14 oveq2 5718 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { y  |  E. w ( -.  w  e.  A  /\  ( w  +Q  y
)  e.  B ) }  ->  ( A  +P.  x )  =  ( A  +P.  { y  |  E. w ( -.  w  e.  A  /\  ( w  +Q  y
)  e.  B ) } ) )
1514eqeq1d 2261 . . . . . 6  |-  ( x  =  { y  |  E. w ( -.  w  e.  A  /\  ( w  +Q  y
)  e.  B ) }  ->  ( ( A  +P.  x )  =  B  <->  ( A  +P.  { y  |  E. w
( -.  w  e.  A  /\  ( w  +Q  y )  e.  B ) } )  =  B ) )
1615rcla4ev 2821 . . . . 5  |-  ( ( { y  |  E. w ( -.  w  e.  A  /\  (
w  +Q  y )  e.  B ) }  e.  P.  /\  ( A  +P.  { y  |  E. w ( -.  w  e.  A  /\  ( w  +Q  y
)  e.  B ) } )  =  B )  ->  E. x  e.  P.  ( A  +P.  x )  =  B )
1710, 13, 16syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  E. x  e.  P.  ( A  +P.  x )  =  B )
1817ex 425 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  C.  B  ->  E. x  e.  P.  ( A  +P.  x )  =  B ) )
193, 18sylbid 208 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  <P  B  ->  E. x  e.  P.  ( A  +P.  x )  =  B ) )
202, 19mpcom 34 1  |-  ( A 
<P  B  ->  E. x  e.  P.  ( A  +P.  x )  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2239   E.wrex 2510    C. wpss 3079   class class class wbr 3920  (class class class)co 5710    +Q cplq 8357   P.cnp 8361    +P. cpp 8363    <P cltp 8365
This theorem is referenced by:  ltaprlem  8548  recexsrlem  8605  mulgt0sr  8607  map2psrpr  8612
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ni 8376  df-pli 8377  df-mi 8378  df-lti 8379  df-plpq 8412  df-mpq 8413  df-ltpq 8414  df-enq 8415  df-nq 8416  df-erq 8417  df-plq 8418  df-mq 8419  df-1nq 8420  df-rq 8421  df-ltnq 8422  df-np 8485  df-plp 8487  df-ltp 8489
  Copyright terms: Public domain W3C validator