Theorem ltexprlem1 5154

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123.

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	|- C = {x | E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem1	|- (B e. P. -> (A (. B -> C =/= (/)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C

Proof of Theorem ltexprlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1816	. . . . . . . . . 10 |- y e. V
2	1	prnmadd 5112	. . . . . . . . 9 |- ((B e. P. /\ y e. B) -> E.x(y +Q x) e. B)
3	2	anim2i 335	. . . . . . . 8 |- ((-. y e. A /\ (B e. P. /\ y e. B)) -> (-. y e. A /\ E.x(y +Q x) e. B))
4		19.42v 1310	. . . . . . . 8 |- (E.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B) <-> (-. y e. A /\ E.x(y +Q x) e. B))
5	3, 4	sylibr 200	. . . . . . 7 |- ((-. y e. A /\ (B e. P. /\ y e. B)) -> E.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))
6	5	exp32 379	. . . . . 6 |- (-. y e. A -> (B e. P. -> (y e. B -> E.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))))
7	6	com3l 34	. . . . 5 |- (B e. P. -> (y e. B -> (-. y e. A -> E.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))))
8	7	imp3a 361	. . . 4 |- (B e. P. -> ((y e. B /\ -. y e. A) -> E.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)))
9	8	19.22dv 1292	. . 3 |- (B e. P. -> (E.y(y e. B /\ -. y e. A) -> E.yE.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)))
10		pssnel 2335	. . 3 |- (A (. B -> E.y(y e. B /\ -. y e. A))
11	9, 10	syl5 21	. 2 |- (B e. P. -> (A (. B -> E.yE.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)))
12		ltexprlem.1	. . . . 5 |- C = {x | E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)}
13	12	abeq2i 1573	. . . 4 |- (x e. C <-> E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))
14	13	exbii 1053	. . 3 |- (E.x x e. C <-> E.xE.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))
15		ne0 2292	. . 3 |- (C =/= (/) <-> E.x x e. C)
16		excom 1048	. . 3 |- (E.yE.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B) <-> E.xE.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))
17	14, 15, 16	3bitr4 183	. 2 |- (C =/= (/) <-> E.yE.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))
18	11, 17	syl6ibr 213	1 |- (B e. P. -> (A (. B -> C =/= (/)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  {cab 1466   =/= wne 1588   (. wpss 2051  (/)c0 2283  (class class class)co 3969   +Q cplq 4993  P.cnp 4997

This theorem is referenced by:  ltexprlem5 5158

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098

Copyright terms: Public domain