MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem1 Unicode version

Theorem ltexprlem1 8628
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 3-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem1  |-  ( B  e.  P.  ->  ( A  C.  B  ->  C  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem1
StepHypRef Expression
1 pssnel 3494 . . 3  |-  ( A 
C.  B  ->  E. y
( y  e.  B  /\  -.  y  e.  A
) )
2 prnmadd 8589 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  y  e.  B )  ->  E. x ( y  +Q  x )  e.  B )
32anim2i 555 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  y  e.  A  /\  ( B  e.  P.  /\  y  e.  B ) )  ->  ( -.  y  e.  A  /\  E. x ( y  +Q  x )  e.  B
) )
4 19.42v 2039 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B )  <->  ( -.  y  e.  A  /\  E. x ( y  +Q  x )  e.  B
) )
53, 4sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  y  e.  A  /\  ( B  e.  P.  /\  y  e.  B ) )  ->  E. x
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
65exp32 591 . . . . . 6  |-  ( -.  y  e.  A  -> 
( B  e.  P.  ->  ( y  e.  B  ->  E. x ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B ) ) ) )
76com3l 77 . . . . 5  |-  ( B  e.  P.  ->  (
y  e.  B  -> 
( -.  y  e.  A  ->  E. x
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) ) ) )
87imp3a 422 . . . 4  |-  ( B  e.  P.  ->  (
( y  e.  B  /\  -.  y  e.  A
)  ->  E. x
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) ) )
98eximdv 2019 . . 3  |-  ( B  e.  P.  ->  ( E. y ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  A )  ->  E. y E. x ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) ) )
101, 9syl5 30 . 2  |-  ( B  e.  P.  ->  ( A  C.  B  ->  E. y E. x ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) ) )
11 ltexprlem.1 . . . . 5  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
1211abeq2i 2365 . . . 4  |-  ( x  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
1312exbii 1580 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  C  <->  E. x E. y ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B ) )
14 n0 3439 . . 3  |-  ( C  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  C )
15 excom 1765 . . 3  |-  ( E. y E. x ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  <->  E. x E. y ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B ) )
1613, 14, 153bitr4i 270 . 2  |-  ( C  =/=  (/)  <->  E. y E. x
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
1710, 16syl6ibr 220 1  |-  ( B  e.  P.  ->  ( A  C.  B  ->  C  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2244    =/= wne 2421    C. wpss 3128   (/)c0 3430  (class class class)co 5792    +Q cplq 8445   P.cnp 8449
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  8632
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-ni 8464  df-pli 8465  df-mi 8466  df-lti 8467  df-plpq 8500  df-mpq 8501  df-ltpq 8502  df-enq 8503  df-nq 8504  df-erq 8505  df-plq 8506  df-mq 8507  df-1nq 8508  df-ltnq 8510  df-np 8573
  Copyright terms: Public domain W3C validator