MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem2 Unicode version

Theorem ltexprlem2 8541
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 3-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem2  |-  ( B  e.  P.  ->  C  C.  Q. )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem2
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . 5  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
21abeq2i 2356 . . . 4  |-  ( x  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
3 elprnq 8495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( y  +Q  x )  e.  Q. )
4 addnqf 8452 . . . . . . . . . . 11  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
54fdmi 5251 . . . . . . . . . 10  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
6 0nnq 8428 . . . . . . . . . 10  |-  -.  (/)  e.  Q.
75, 6ndmovrcl 5858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  (
y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )
)
83, 7syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( y  e. 
Q.  /\  x  e.  Q. ) )
9 ltaddnq 8478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  x  <Q  ( x  +Q  y ) )
109ancoms 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  x  <Q  ( x  +Q  y ) )
11 addcomnq 8455 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  +Q  y )  =  ( y  +Q  x
)
1210, 11syl6breq 3959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  x  <Q  ( y  +Q  x ) )
13 prcdnq 8497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( x  <Q  ( y  +Q  x )  ->  x  e.  B
) )
1412, 13syl5 30 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  x  e.  B ) )
158, 14mpd 16 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  x  e.  B
)
1615ex 425 . . . . . 6  |-  ( B  e.  P.  ->  (
( y  +Q  x
)  e.  B  ->  x  e.  B )
)
1716adantld 455 . . . . 5  |-  ( B  e.  P.  ->  (
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
1817exlimdv 1932 . . . 4  |-  ( B  e.  P.  ->  ( E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B )  ->  x  e.  B )
)
192, 18syl5bi 210 . . 3  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  x  e.  B )
)
2019ssrdv 3106 . 2  |-  ( B  e.  P.  ->  C  C_  B )
21 prpssnq 8494 . 2  |-  ( B  e.  P.  ->  B  C.  Q. )
22 sspsstr 3201 . 2  |-  ( ( C  C_  B  /\  B  C.  Q. )  ->  C  C.  Q. )
2320, 21, 22syl2anc 645 1  |-  ( B  e.  P.  ->  C  C.  Q. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2239    C_ wss 3078    C. wpss 3079   class class class wbr 3920    X. cxp 4578  (class class class)co 5710   Q.cnq 8354    +Q cplq 8357    <Q cltq 8360   P.cnp 8361
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  8544
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ni 8376  df-pli 8377  df-mi 8378  df-lti 8379  df-plpq 8412  df-mpq 8413  df-ltpq 8414  df-enq 8415  df-nq 8416  df-erq 8417  df-plq 8418  df-mq 8419  df-1nq 8420  df-ltnq 8422  df-np 8485
  Copyright terms: Public domain W3C validator