Theorem ltexprlem2 5155

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123.

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	|- C = {x | E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem2	|- (B e. P. -> C (. Q.)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C

Proof of Theorem ltexprlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspsstr 2154	. 2 |- ((C (_ B /\ B (. Q.) -> C (. Q.)
2		elprpq 5107	. . . . . . . . 9 |- ((B e. P. /\ (y +Q x) e. B) -> (y +Q x) e. Q.)
3		visset 1816	. . . . . . . . . 10 |- x e. V
4		dmaddpq 5071	. . . . . . . . . 10 |- dom +Q = (Q. X. Q.)
5		0npq 5062	. . . . . . . . . 10 |- -. (/) e. Q.
6	3, 4, 5	ndmoprrcl 4052	. . . . . . . . 9 |- ((y +Q x) e. Q. -> (y e. Q. /\ x e. Q.))
7	2, 6	syl 10	. . . . . . . 8 |- ((B e. P. /\ (y +Q x) e. B) -> (y e. Q. /\ x e. Q.))
8		prcdpq 5109	. . . . . . . . 9 |- ((B e. P. /\ (y +Q x) e. B) -> (x <Q (y +Q x) -> x e. B))
9		visset 1816	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. V
10	3, 9	ltaddpq 5091	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. Q. /\ y e. Q.) -> x <Q (x +Q y))
11	10	ancoms 438	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. Q. /\ x e. Q.) -> x <Q (x +Q y))
12	3, 9	addcompq 5074	. . . . . . . . . 10 |- (x +Q y) = (y +Q x)
13	11, 12	syl6breq 2659	. . . . . . . . 9 |- ((y e. Q. /\ x e. Q.) -> x <Q (y +Q x))
14	8, 13	syl5 21	. . . . . . . 8 |- ((B e. P. /\ (y +Q x) e. B) -> ((y e. Q. /\ x e. Q.) -> x e. B))
15	7, 14	mpd 26	. . . . . . 7 |- ((B e. P. /\ (y +Q x) e. B) -> x e. B)
16	15	ex 373	. . . . . 6 |- (B e. P. -> ((y +Q x) e. B -> x e. B))
17	16	adantld 392	. . . . 5 |- (B e. P. -> ((-. y e. A /\ (y +Q x) e. B) -> x e. B))
18	17	19.23adv 1216	. . . 4 |- (B e. P. -> (E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B) -> x e. B))
19		ltexprlem.1	. . . . 5 |- C = {x | E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)}
20	19	abeq2i 1573	. . . 4 |- (x e. C <-> E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))
21	18, 20	syl5ib 206	. . 3 |- (B e. P. -> (x e. C -> x e. B))
22	21	ssrdv 2073	. 2 |- (B e. P. -> C (_ B)
23		prpssnq 5106	. 2 |- (B e. P. -> B (. Q.)
24	1, 22, 23	sylanc 473	1 |- (B e. P. -> C (. Q.)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  {cab 1466   (_ wss 2050   (. wpss 2051   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  Q.cnq 4991   +Q cplq 4993   <Q cltq 4996  P.cnp 4997

This theorem is referenced by:  ltexprlem5 5158

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098

Copyright terms: Public domain