MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem2 Unicode version

Theorem ltexprlem2 8903
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 3-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem2  |-  ( B  e.  P.  ->  C  C.  Q. )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem2
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . 5  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
21abeq2i 2542 . . . 4  |-  ( x  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
3 elprnq 8857 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( y  +Q  x )  e.  Q. )
4 addnqf 8814 . . . . . . . . . . 11  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
54fdmi 5587 . . . . . . . . . 10  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
6 0nnq 8790 . . . . . . . . . 10  |-  -.  (/)  e.  Q.
75, 6ndmovrcl 6224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  (
y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )
)
83, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( y  e. 
Q.  /\  x  e.  Q. ) )
9 ltaddnq 8840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  x  <Q  ( x  +Q  y ) )
109ancoms 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  x  <Q  ( x  +Q  y ) )
11 addcomnq 8817 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  +Q  y )  =  ( y  +Q  x
)
1210, 11syl6breq 4243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  x  <Q  ( y  +Q  x ) )
13 prcdnq 8859 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( x  <Q  ( y  +Q  x )  ->  x  e.  B
) )
1412, 13syl5 30 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  x  e.  B ) )
158, 14mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  x  e.  B
)
1615ex 424 . . . . . 6  |-  ( B  e.  P.  ->  (
( y  +Q  x
)  e.  B  ->  x  e.  B )
)
1716adantld 454 . . . . 5  |-  ( B  e.  P.  ->  (
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
1817exlimdv 1646 . . . 4  |-  ( B  e.  P.  ->  ( E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B )  ->  x  e.  B )
)
192, 18syl5bi 209 . . 3  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  x  e.  B )
)
2019ssrdv 3346 . 2  |-  ( B  e.  P.  ->  C  C_  B )
21 prpssnq 8856 . 2  |-  ( B  e.  P.  ->  B  C.  Q. )
2220, 21sspsstrd 3447 1  |-  ( B  e.  P.  ->  C  C.  Q. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421    C. wpss 3313   class class class wbr 4204    X. cxp 4867  (class class class)co 6072   Q.cnq 8716    +Q cplq 8719    <Q cltq 8722   P.cnp 8723
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  8906
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-omul 6720  df-er 6896  df-ni 8738  df-pli 8739  df-mi 8740  df-lti 8741  df-plpq 8774  df-mpq 8775  df-ltpq 8776  df-enq 8777  df-nq 8778  df-erq 8779  df-plq 8780  df-mq 8781  df-1nq 8782  df-ltnq 8784  df-np 8847
  Copyright terms: Public domain W3C validator