MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem3 Unicode version

Theorem ltexprlem3 8841
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem3  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  C
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, C, z
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem3
StepHypRef Expression
1 elprnq 8794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( y  +Q  x )  e.  Q. )
2 addnqf 8751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
32fdmi 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
4 0nnq 8727 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  (/)  e.  Q.
53, 4ndmovrcl 6165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  (
y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )
)
65simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  y  e.  Q. )
7 ltanq 8774 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
z  <Q  x  <->  ( y  +Q  z )  <Q  (
y  +Q  x ) ) )
81, 6, 73syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( z  <Q  x 
<->  ( y  +Q  z
)  <Q  ( y  +Q  x ) ) )
9 prcdnq 8796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( ( y  +Q  z )  <Q 
( y  +Q  x
)  ->  ( y  +Q  z )  e.  B
) )
108, 9sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( z  <Q  x  ->  ( y  +Q  z )  e.  B
) )
1110impancom 428 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  P.  /\  z  <Q  x )  -> 
( ( y  +Q  x )  e.  B  ->  ( y  +Q  z
)  e.  B ) )
1211anim2d 549 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  P.  /\  z  <Q  x )  -> 
( ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B )  -> 
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B ) ) )
1312eximdv 1629 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  z  <Q  x )  -> 
( E. y ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  E. y ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  B ) ) )
14 ltexprlem.1 . . . . . 6  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
1514abeq2i 2487 . . . . 5  |-  ( x  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
16 vex 2895 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
17 oveq2 6021 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
y  +Q  x )  =  ( y  +Q  z ) )
1817eleq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  +Q  x
)  e.  B  <->  ( y  +Q  z )  e.  B
) )
1918anbi2d 685 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  <->  ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  B ) ) )
2019exbidv 1633 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B )  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B ) ) )
2116, 20, 14elab2 3021 . . . . 5  |-  ( z  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B ) )
2213, 15, 213imtr4g 262 . . . 4  |-  ( ( B  e.  P.  /\  z  <Q  x )  -> 
( x  e.  C  ->  z  e.  C ) )
2322ex 424 . . 3  |-  ( B  e.  P.  ->  (
z  <Q  x  ->  (
x  e.  C  -> 
z  e.  C ) ) )
2423com23 74 . 2  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  -> 
( z  <Q  x  ->  z  e.  C ) ) )
2524alrimdv 1640 1  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2366   class class class wbr 4146    X. cxp 4809  (class class class)co 6013   Q.cnq 8653    +Q cplq 8656    <Q cltq 8659   P.cnp 8660
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  8843
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-omul 6658  df-er 6834  df-ni 8675  df-pli 8676  df-mi 8677  df-lti 8678  df-plpq 8711  df-ltpq 8713  df-enq 8714  df-nq 8715  df-erq 8716  df-plq 8717  df-1nq 8719  df-ltnq 8721  df-np 8784
  Copyright terms: Public domain W3C validator