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Theorem ltexprlem4 8658
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem4  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  E. z ( z  e.  C  /\  x  <Q  z ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, C, z
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem4
StepHypRef Expression
1 prnmax 8614 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  E. w  e.  B  ( y  +Q  x
)  <Q  w )
2 df-rex 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  B  ( y  +Q  x ) 
<Q  w  <->  E. w ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) )
31, 2sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  E. w ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) )
4 ltrelnq 8545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
54brel 4736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  /\  w  e.  Q. ) )
65simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  ( y  +Q  x )  e. 
Q. )
7 addnqf 8567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
87fdmi 5359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
9 0nnq 8543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  (/)  e.  Q.
108, 9ndmovrcl 5967 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  (
y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )
)
116, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. ) )
12 ltaddnq 8593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  y  <Q  ( y  +Q  x ) )
13 ltsonq 8588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  <Q  Or  Q.
1413, 4sotri 5069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  <Q  ( y  +Q  x )  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w )  ->  y  <Q  w )
1512, 14sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w )  -> 
y  <Q  w )
1611, 15mpancom 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  y  <Q  w )
174brel 4736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y 
<Q  w  ->  ( y  e.  Q.  /\  w  e.  Q. ) )
1817simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
<Q  w  ->  w  e. 
Q. )
19 ltexnq 8594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
y  <Q  w  <->  E. z
( y  +Q  z
)  =  w ) )
2019biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
y  <Q  w  ->  E. z
( y  +Q  z
)  =  w ) )
2118, 20mpcom 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
<Q  w  ->  E. z
( y  +Q  z
)  =  w )
2216, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  E. z
( y  +Q  z
)  =  w )
23 eqcom 2286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( y  +Q  z )  <->  ( y  +Q  z )  =  w )
2423exbii 1574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. z  w  =  ( y  +Q  z )  <->  E. z ( y  +Q  z )  =  w )
2522, 24sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  E. z  w  =  ( y  +Q  z ) )
2625ancri 537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  ( E. z  w  =  ( y  +Q  z )  /\  ( y  +Q  x )  <Q  w
) )
2726anim2i 555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w )  -> 
( w  e.  B  /\  ( E. z  w  =  ( y  +Q  z )  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) ) )
28 an12 775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. z  w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) )  <->  ( w  e.  B  /\  ( E. z  w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( y  +Q  x )  <Q  w
) ) )
2927, 28sylibr 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w )  -> 
( E. z  w  =  ( y  +Q  z )  /\  (
w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w ) ) )
30 19.41v 1853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z ( w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) )  <->  ( E. z  w  =  (
y  +Q  z )  /\  ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x )  <Q  w ) ) )
3129, 30sylibr 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w )  ->  E. z ( w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) ) )
3231eximi 1568 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x )  <Q  w )  ->  E. w E. z ( w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) ) )
33 excom 1790 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z E. w ( w  =  ( y  +Q  z )  /\  ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w ) )  <->  E. w E. z ( w  =  ( y  +Q  z )  /\  ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w ) ) )
3432, 33sylibr 205 . . . . . . . 8  |-  ( E. w ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x )  <Q  w )  ->  E. z E. w ( w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) ) )
35 ovex 5844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  +Q  z )  e. 
_V
36 eleq1 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( y  +Q  z )  ->  (
w  e.  B  <->  ( y  +Q  z )  e.  B
) )
37 breq2 4028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( y  +Q  z )  ->  (
( y  +Q  x
)  <Q  w  <->  ( y  +Q  x )  <Q  (
y  +Q  z ) ) )
3836, 37anbi12d 694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( y  +Q  z )  ->  (
( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w )  <->  ( (
y  +Q  z )  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  ( y  +Q  z
) ) ) )
3935, 38ceqsexv 2824 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w ( w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) )  <->  ( (
y  +Q  z )  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  ( y  +Q  z
) ) )
40 ltanq 8590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
x  <Q  z  <->  ( y  +Q  x )  <Q  (
y  +Q  z ) ) )
418, 4, 9, 40ndmovordi 5972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  ( y  +Q  z
)  ->  x  <Q  z )
4241anim2i 555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  +Q  z
)  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  ( y  +Q  z ) )  -> 
( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) )
4339, 42sylbi 189 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w ( w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) )  -> 
( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) )
4443eximi 1568 . . . . . . . 8  |-  ( E. z E. w ( w  =  ( y  +Q  z )  /\  ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w ) )  ->  E. z ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) )
453, 34, 443syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  E. z ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) )
4645anim2i 555 . . . . . 6  |-  ( ( -.  y  e.  A  /\  ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B ) )  ->  ( -.  y  e.  A  /\  E. z ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
4746an12s 779 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B
) )  ->  ( -.  y  e.  A  /\  E. z ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
48 19.42v 1857 . . . . 5  |-  ( E. z ( -.  y  e.  A  /\  (
( y  +Q  z
)  e.  B  /\  x  <Q  z ) )  <-> 
( -.  y  e.  A  /\  E. z
( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
4947, 48sylibr 205 . . . 4  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B
) )  ->  E. z
( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
5049ex 425 . . 3  |-  ( B  e.  P.  ->  (
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  ->  E. z
( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) ) )
5150eximdv 1613 . 2  |-  ( B  e.  P.  ->  ( E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B )  ->  E. y E. z ( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) ) )
52 ltexprlem.1 . . 3  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
5352abeq2i 2391 . 2  |-  ( x  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
54 vex 2792 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
55 oveq2 5827 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
y  +Q  x )  =  ( y  +Q  z ) )
5655eleq1d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  +Q  x
)  e.  B  <->  ( y  +Q  z )  e.  B
) )
5756anbi2d 687 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  <->  ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  B ) ) )
5857exbidv 1617 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B )  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B ) ) )
5954, 58, 52elab2 2918 . . . . . 6  |-  ( z  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B ) )
6059anbi1i 679 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  C  /\  x  <Q  z )  <->  ( E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  z )  e.  B )  /\  x  <Q  z ) )
61 19.41v 1853 . . . . 5  |-  ( E. y ( ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  B )  /\  x  <Q  z
)  <->  ( E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B )  /\  x  <Q  z ) )
62 anass 633 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B )  /\  x  <Q  z )  <->  ( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
6362exbii 1574 . . . . 5  |-  ( E. y ( ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  B )  /\  x  <Q  z
)  <->  E. y ( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
6460, 61, 633bitr2i 266 . . . 4  |-  ( ( z  e.  C  /\  x  <Q  z )  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
6564exbii 1574 . . 3  |-  ( E. z ( z  e.  C  /\  x  <Q  z )  <->  E. z E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
66 excom 1790 . . 3  |-  ( E. y E. z ( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) )  <->  E. z E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
6765, 66bitr4i 245 . 2  |-  ( E. z ( z  e.  C  /\  x  <Q  z )  <->  E. y E. z
( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
6851, 53, 673imtr4g 263 1  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  E. z ( z  e.  C  /\  x  <Q  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360   E.wex 1533    = wceq 1628    e. wcel 1688   {cab 2270   E.wrex 2545   class class class wbr 4024    X. cxp 4686  (class class class)co 5819   Q.cnq 8469    +Q cplq 8472    <Q cltq 8475   P.cnp 8476
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  8659
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-ni 8491  df-pli 8492  df-mi 8493  df-lti 8494  df-plpq 8527  df-mpq 8528  df-ltpq 8529  df-enq 8530  df-nq 8531  df-erq 8532  df-plq 8533  df-mq 8534  df-1nq 8535  df-ltnq 8537  df-np 8600
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