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Theorem ltexprlem4 8663
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem4  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  E. z ( z  e.  C  /\  x  <Q  z ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, C, z
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem4
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prnmax 8619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  E. w  e.  B  ( y  +Q  x
)  <Q  w )
2 df-rex 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  B  ( y  +Q  x ) 
<Q  w  <->  E. w ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) )
31, 2sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  E. w ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) )
4 ltrelnq 8550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
54brel 4737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  /\  w  e.  Q. ) )
65simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  ( y  +Q  x )  e. 
Q. )
7 addnqf 8572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
87fdmi 5394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
9 0nnq 8548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  (/)  e.  Q.
108, 9ndmovrcl 6006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  (
y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )
)
116, 10syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. ) )
12 ltaddnq 8598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  y  <Q  ( y  +Q  x ) )
13 ltsonq 8593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  <Q  Or  Q.
1413, 4sotri 5070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  <Q  ( y  +Q  x )  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w )  ->  y  <Q  w )
1512, 14sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w )  -> 
y  <Q  w )
1611, 15mpancom 650 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  y  <Q  w )
174brel 4737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y 
<Q  w  ->  ( y  e.  Q.  /\  w  e.  Q. ) )
1817simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
<Q  w  ->  w  e. 
Q. )
19 ltexnq 8599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
y  <Q  w  <->  E. z
( y  +Q  z
)  =  w ) )
2019biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
y  <Q  w  ->  E. z
( y  +Q  z
)  =  w ) )
2118, 20mpcom 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
<Q  w  ->  E. z
( y  +Q  z
)  =  w )
2216, 21syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  E. z
( y  +Q  z
)  =  w )
23 eqcom 2285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( y  +Q  z )  <->  ( y  +Q  z )  =  w )
2423exbii 1569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. z  w  =  ( y  +Q  z )  <->  E. z ( y  +Q  z )  =  w )
2522, 24sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  E. z  w  =  ( y  +Q  z ) )
2625ancri 535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  ( E. z  w  =  ( y  +Q  z )  /\  ( y  +Q  x )  <Q  w
) )
2726anim2i 552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w )  -> 
( w  e.  B  /\  ( E. z  w  =  ( y  +Q  z )  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) ) )
28 an12 772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. z  w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) )  <->  ( w  e.  B  /\  ( E. z  w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( y  +Q  x )  <Q  w
) ) )
2927, 28sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w )  -> 
( E. z  w  =  ( y  +Q  z )  /\  (
w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w ) ) )
30 19.41v 1842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z ( w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) )  <->  ( E. z  w  =  (
y  +Q  z )  /\  ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x )  <Q  w ) ) )
3129, 30sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w )  ->  E. z ( w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) ) )
3231eximi 1563 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x )  <Q  w )  ->  E. w E. z ( w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) ) )
33 excom 1786 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z E. w ( w  =  ( y  +Q  z )  /\  ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w ) )  <->  E. w E. z ( w  =  ( y  +Q  z )  /\  ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w ) ) )
3432, 33sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( E. w ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x )  <Q  w )  ->  E. z E. w ( w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) ) )
35 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  +Q  z )  e. 
_V
36 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( y  +Q  z )  ->  (
w  e.  B  <->  ( y  +Q  z )  e.  B
) )
37 breq2 4027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( y  +Q  z )  ->  (
( y  +Q  x
)  <Q  w  <->  ( y  +Q  x )  <Q  (
y  +Q  z ) ) )
3836, 37anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( y  +Q  z )  ->  (
( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w )  <->  ( (
y  +Q  z )  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  ( y  +Q  z
) ) ) )
3935, 38ceqsexv 2823 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w ( w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) )  <->  ( (
y  +Q  z )  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  ( y  +Q  z
) ) )
40 ltanq 8595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
x  <Q  z  <->  ( y  +Q  x )  <Q  (
y  +Q  z ) ) )
418, 4, 9, 40ndmovordi 6011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  ( y  +Q  z
)  ->  x  <Q  z )
4241anim2i 552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  +Q  z
)  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  ( y  +Q  z ) )  -> 
( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) )
4339, 42sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w ( w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) )  -> 
( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) )
4443eximi 1563 . . . . . . . 8  |-  ( E. z E. w ( w  =  ( y  +Q  z )  /\  ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w ) )  ->  E. z ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) )
453, 34, 443syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  E. z ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) )
4645anim2i 552 . . . . . 6  |-  ( ( -.  y  e.  A  /\  ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B ) )  ->  ( -.  y  e.  A  /\  E. z ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
4746an12s 776 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B
) )  ->  ( -.  y  e.  A  /\  E. z ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
48 19.42v 1846 . . . . 5  |-  ( E. z ( -.  y  e.  A  /\  (
( y  +Q  z
)  e.  B  /\  x  <Q  z ) )  <-> 
( -.  y  e.  A  /\  E. z
( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
4947, 48sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B
) )  ->  E. z
( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
5049ex 423 . . 3  |-  ( B  e.  P.  ->  (
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  ->  E. z
( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) ) )
5150eximdv 1608 . 2  |-  ( B  e.  P.  ->  ( E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B )  ->  E. y E. z ( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) ) )
52 ltexprlem.1 . . 3  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
5352abeq2i 2390 . 2  |-  ( x  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
54 vex 2791 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
55 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
y  +Q  x )  =  ( y  +Q  z ) )
5655eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  +Q  x
)  e.  B  <->  ( y  +Q  z )  e.  B
) )
5756anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  <->  ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  B ) ) )
5857exbidv 1612 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B )  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B ) ) )
5954, 58, 52elab2 2917 . . . . . 6  |-  ( z  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B ) )
6059anbi1i 676 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  C  /\  x  <Q  z )  <->  ( E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  z )  e.  B )  /\  x  <Q  z ) )
61 19.41v 1842 . . . . 5  |-  ( E. y ( ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  B )  /\  x  <Q  z
)  <->  ( E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B )  /\  x  <Q  z ) )
62 anass 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B )  /\  x  <Q  z )  <->  ( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
6362exbii 1569 . . . . 5  |-  ( E. y ( ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  B )  /\  x  <Q  z
)  <->  E. y ( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
6460, 61, 633bitr2i 264 . . . 4  |-  ( ( z  e.  C  /\  x  <Q  z )  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
6564exbii 1569 . . 3  |-  ( E. z ( z  e.  C  /\  x  <Q  z )  <->  E. z E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
66 excom 1786 . . 3  |-  ( E. y E. z ( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) )  <->  E. z E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
6765, 66bitr4i 243 . 2  |-  ( E. z ( z  e.  C  /\  x  <Q  z )  <->  E. y E. z
( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
6851, 53, 673imtr4g 261 1  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  E. z ( z  e.  C  /\  x  <Q  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   E.wrex 2544   class class class wbr 4023    X. cxp 4687  (class class class)co 5858   Q.cnq 8474    +Q cplq 8477    <Q cltq 8480   P.cnp 8481
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  8664
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ni 8496  df-pli 8497  df-mi 8498  df-lti 8499  df-plpq 8532  df-mpq 8533  df-ltpq 8534  df-enq 8535  df-nq 8536  df-erq 8537  df-plq 8538  df-mq 8539  df-1nq 8540  df-ltnq 8542  df-np 8605
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