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Theorem ltexprlem6 8681
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  ( A  +P.  C )  C_  B )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem6
Dummy variables  z  w  v  f  g  h  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . . 6  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
21ltexprlem5 8680 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  ->  C  e.  P. )
3 df-plp 8623 . . . . . 6  |-  +P.  =  ( z  e.  P. ,  y  e.  P.  |->  { f  |  E. g  e.  z  E. h  e.  y  f  =  ( g  +Q  h ) } )
4 addclnq 8585 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( g  +Q  h
)  e.  Q. )
53, 4genpelv 8640 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( z  e.  ( A  +P.  C )  <->  E. w  e.  A  E. x  e.  C  z  =  ( w  +Q  x ) ) )
62, 5sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  A  C.  B ) )  ->  ( z  e.  ( A  +P.  C
)  <->  E. w  e.  A  E. x  e.  C  z  =  ( w  +Q  x ) ) )
71abeq2i 2403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
8 elprnq 8631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( y  +Q  x )  e.  Q. )
9 addnqf 8588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
109fdmi 5410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
11 0nnq 8564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -.  (/)  e.  Q.
1210, 11ndmovrcl 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  (
y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )
)
1312simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  y  e.  Q. )
148, 13syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  y  e.  Q. )
15 prub 8634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  Q. )  ->  ( -.  y  e.  A  ->  w  <Q  y ) )
1614, 15sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  ( y  +Q  x )  e.  B
) )  ->  ( -.  y  e.  A  ->  w  <Q  y )
)
1712simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  x  e.  Q. )
18 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  w  e. 
_V
19 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  y  e. 
_V
20 ltanq 8611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  Q.  ->  (
z  <Q  v  <->  ( u  +Q  z )  <Q  (
u  +Q  v ) ) )
21 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  x  e. 
_V
22 addcomnq 8591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  +Q  v )  =  ( v  +Q  z
)
2318, 19, 20, 21, 22caovord2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
w  <Q  y  <->  ( w  +Q  x )  <Q  (
y  +Q  x ) ) )
248, 17, 233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( w  <Q  y  <-> 
( w  +Q  x
)  <Q  ( y  +Q  x ) ) )
25 prcdnq 8633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( ( w  +Q  x )  <Q 
( y  +Q  x
)  ->  ( w  +Q  x )  e.  B
) )
2624, 25sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( w  <Q  y  ->  ( w  +Q  x )  e.  B
) )
2726adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  ( y  +Q  x )  e.  B
) )  ->  (
w  <Q  y  ->  (
w  +Q  x )  e.  B ) )
2816, 27syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  ( y  +Q  x )  e.  B
) )  ->  ( -.  y  e.  A  ->  ( w  +Q  x
)  e.  B ) )
2928exp32 588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  ->  ( B  e.  P.  ->  ( ( y  +Q  x )  e.  B  ->  ( -.  y  e.  A  ->  ( w  +Q  x )  e.  B
) ) ) )
3029com34 77 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  ->  ( B  e.  P.  ->  ( -.  y  e.  A  ->  ( (
y  +Q  x )  e.  B  ->  (
w  +Q  x )  e.  B ) ) ) )
3130imp4b 573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( w  +Q  x )  e.  B
) )
3231exlimdv 1626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  B  e.  P. )  ->  ( E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  ->  (
w  +Q  x )  e.  B ) )
337, 32syl5bi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  B  e.  P. )  ->  ( x  e.  C  ->  ( w  +Q  x )  e.  B
) )
3433exp31 587 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  A  -> 
( B  e.  P.  ->  ( x  e.  C  ->  ( w  +Q  x
)  e.  B ) ) ) )
3534com23 72 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  A  -> 
( x  e.  C  ->  ( w  +Q  x
)  e.  B ) ) ) )
3635imp43 578 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( w  e.  A  /\  x  e.  C
) )  ->  (
w  +Q  x )  e.  B )
37 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( w  +Q  x )  ->  (
z  e.  B  <->  ( w  +Q  x )  e.  B
) )
3837biimparc 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  +Q  x
)  e.  B  /\  z  =  ( w  +Q  x ) )  -> 
z  e.  B )
3936, 38sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  (
w  e.  A  /\  x  e.  C )
)  /\  z  =  ( w  +Q  x
) )  ->  z  e.  B )
4039exp31 587 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( w  e.  A  /\  x  e.  C )  ->  (
z  =  ( w  +Q  x )  -> 
z  e.  B ) ) )
4140rexlimdvv 2686 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( E. w  e.  A  E. x  e.  C  z  =  ( w  +Q  x )  ->  z  e.  B
) )
4241adantrr 697 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  A  C.  B ) )  ->  ( E. w  e.  A  E. x  e.  C  z  =  ( w  +Q  x )  ->  z  e.  B ) )
436, 42sylbid 206 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  A  C.  B ) )  ->  ( z  e.  ( A  +P.  C
)  ->  z  e.  B ) )
4443ssrdv 3198 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  A  C.  B ) )  ->  ( A  +P.  C )  C_  B
)
4544anassrs 629 1  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  ( A  +P.  C )  C_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   E.wrex 2557    C_ wss 3165    C. wpss 3166   class class class wbr 4039    X. cxp 4703  (class class class)co 5874   Q.cnq 8490    +Q cplq 8493    <Q cltq 8496   P.cnp 8497    +P. cpp 8499
This theorem is referenced by:  ltexpri  8683
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ni 8512  df-pli 8513  df-mi 8514  df-lti 8515  df-plpq 8548  df-mpq 8549  df-ltpq 8550  df-enq 8551  df-nq 8552  df-erq 8553  df-plq 8554  df-mq 8555  df-1nq 8556  df-ltnq 8558  df-np 8621  df-plp 8623
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