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Theorem ltexprlem6 8598
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  ( A  +P.  C )  C_  B )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem6
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . . 6  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
21ltexprlem5 8597 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  ->  C  e.  P. )
3 df-plp 8540 . . . . . 6  |-  +P.  =  ( z  e.  P. ,  y  e.  P.  |->  { f  |  E. g  e.  z  E. h  e.  y  f  =  ( g  +Q  h ) } )
4 addclnq 8502 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( g  +Q  h
)  e.  Q. )
53, 4genpelv 8557 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( z  e.  ( A  +P.  C )  <->  E. w  e.  A  E. x  e.  C  z  =  ( w  +Q  x ) ) )
62, 5sylan2 462 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  A  C.  B ) )  ->  ( z  e.  ( A  +P.  C
)  <->  E. w  e.  A  E. x  e.  C  z  =  ( w  +Q  x ) ) )
71abeq2i 2363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
8 elprnq 8548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( y  +Q  x )  e.  Q. )
9 addnqf 8505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
109fdmi 5297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
11 0nnq 8481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -.  (/)  e.  Q.
1210, 11ndmovrcl 5905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  (
y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )
)
1312simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  y  e.  Q. )
148, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  y  e.  Q. )
15 prub 8551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  Q. )  ->  ( -.  y  e.  A  ->  w  <Q  y ) )
1614, 15sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  ( y  +Q  x )  e.  B
) )  ->  ( -.  y  e.  A  ->  w  <Q  y )
)
1712simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  x  e.  Q. )
18 vex 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  w  e. 
_V
19 vex 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  y  e. 
_V
20 ltanq 8528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  Q.  ->  (
z  <Q  v  <->  ( u  +Q  z )  <Q  (
u  +Q  v ) ) )
21 vex 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  x  e. 
_V
22 addcomnq 8508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  +Q  v )  =  ( v  +Q  z
)
2318, 19, 20, 21, 22caovord2 5931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
w  <Q  y  <->  ( w  +Q  x )  <Q  (
y  +Q  x ) ) )
248, 17, 233syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( w  <Q  y  <-> 
( w  +Q  x
)  <Q  ( y  +Q  x ) ) )
25 prcdnq 8550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( ( w  +Q  x )  <Q 
( y  +Q  x
)  ->  ( w  +Q  x )  e.  B
) )
2624, 25sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( w  <Q  y  ->  ( w  +Q  x )  e.  B
) )
2726adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  ( y  +Q  x )  e.  B
) )  ->  (
w  <Q  y  ->  (
w  +Q  x )  e.  B ) )
2816, 27syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  ( y  +Q  x )  e.  B
) )  ->  ( -.  y  e.  A  ->  ( w  +Q  x
)  e.  B ) )
2928exp32 591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  ->  ( B  e.  P.  ->  ( ( y  +Q  x )  e.  B  ->  ( -.  y  e.  A  ->  ( w  +Q  x )  e.  B
) ) ) )
3029com34 79 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  ->  ( B  e.  P.  ->  ( -.  y  e.  A  ->  ( (
y  +Q  x )  e.  B  ->  (
w  +Q  x )  e.  B ) ) ) )
3130imp4b 576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( w  +Q  x )  e.  B
) )
3231exlimdv 1933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  B  e.  P. )  ->  ( E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  ->  (
w  +Q  x )  e.  B ) )
337, 32syl5bi 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  B  e.  P. )  ->  ( x  e.  C  ->  ( w  +Q  x )  e.  B
) )
3433exp31 590 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  A  -> 
( B  e.  P.  ->  ( x  e.  C  ->  ( w  +Q  x
)  e.  B ) ) ) )
3534com23 74 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  A  -> 
( x  e.  C  ->  ( w  +Q  x
)  e.  B ) ) ) )
3635imp43 581 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( w  e.  A  /\  x  e.  C
) )  ->  (
w  +Q  x )  e.  B )
37 eleq1 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( w  +Q  x )  ->  (
z  e.  B  <->  ( w  +Q  x )  e.  B
) )
3837biimparc 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  +Q  x
)  e.  B  /\  z  =  ( w  +Q  x ) )  -> 
z  e.  B )
3936, 38sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  (
w  e.  A  /\  x  e.  C )
)  /\  z  =  ( w  +Q  x
) )  ->  z  e.  B )
4039exp31 590 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( w  e.  A  /\  x  e.  C )  ->  (
z  =  ( w  +Q  x )  -> 
z  e.  B ) ) )
4140rexlimdvv 2644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( E. w  e.  A  E. x  e.  C  z  =  ( w  +Q  x )  ->  z  e.  B
) )
4241adantrr 700 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  A  C.  B ) )  ->  ( E. w  e.  A  E. x  e.  C  z  =  ( w  +Q  x )  ->  z  e.  B ) )
436, 42sylbid 208 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  A  C.  B ) )  ->  ( z  e.  ( A  +P.  C
)  ->  z  e.  B ) )
4443ssrdv 3127 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  A  C.  B ) )  ->  ( A  +P.  C )  C_  B
)
4544anassrs 632 1  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  ( A  +P.  C )  C_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2242   E.wrex 2517    C_ wss 3094    C. wpss 3095   class class class wbr 3963    X. cxp 4624  (class class class)co 5757   Q.cnq 8407    +Q cplq 8410    <Q cltq 8413   P.cnp 8414    +P. cpp 8416
This theorem is referenced by:  ltexpri  8600
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-omul 6417  df-er 6593  df-ni 8429  df-pli 8430  df-mi 8431  df-lti 8432  df-plpq 8465  df-mpq 8466  df-ltpq 8467  df-enq 8468  df-nq 8469  df-erq 8470  df-plq 8471  df-mq 8472  df-1nq 8473  df-ltnq 8475  df-np 8538  df-plp 8540
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