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Theorem ltexprlem6 8907
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  ( A  +P.  C )  C_  B )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem6
Dummy variables  z  w  v  f  g  h  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . . 6  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
21ltexprlem5 8906 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  ->  C  e.  P. )
3 df-plp 8849 . . . . . 6  |-  +P.  =  ( z  e.  P. ,  y  e.  P.  |->  { f  |  E. g  e.  z  E. h  e.  y  f  =  ( g  +Q  h ) } )
4 addclnq 8811 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( g  +Q  h
)  e.  Q. )
53, 4genpelv 8866 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( z  e.  ( A  +P.  C )  <->  E. w  e.  A  E. x  e.  C  z  =  ( w  +Q  x ) ) )
62, 5sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  A  C.  B ) )  ->  ( z  e.  ( A  +P.  C
)  <->  E. w  e.  A  E. x  e.  C  z  =  ( w  +Q  x ) ) )
71abeq2i 2542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
8 elprnq 8857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( y  +Q  x )  e.  Q. )
9 addnqf 8814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
109fdmi 5587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
11 0nnq 8790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -.  (/)  e.  Q.
1210, 11ndmovrcl 6224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  (
y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )
)
1312simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  y  e.  Q. )
148, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  y  e.  Q. )
15 prub 8860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  Q. )  ->  ( -.  y  e.  A  ->  w  <Q  y ) )
1614, 15sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  ( y  +Q  x )  e.  B
) )  ->  ( -.  y  e.  A  ->  w  <Q  y )
)
1712simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  x  e.  Q. )
18 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  w  e. 
_V
19 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  y  e. 
_V
20 ltanq 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  Q.  ->  (
z  <Q  v  <->  ( u  +Q  z )  <Q  (
u  +Q  v ) ) )
21 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  x  e. 
_V
22 addcomnq 8817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  +Q  v )  =  ( v  +Q  z
)
2318, 19, 20, 21, 22caovord2 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
w  <Q  y  <->  ( w  +Q  x )  <Q  (
y  +Q  x ) ) )
248, 17, 233syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( w  <Q  y  <-> 
( w  +Q  x
)  <Q  ( y  +Q  x ) ) )
25 prcdnq 8859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( ( w  +Q  x )  <Q 
( y  +Q  x
)  ->  ( w  +Q  x )  e.  B
) )
2624, 25sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( w  <Q  y  ->  ( w  +Q  x )  e.  B
) )
2726adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  ( y  +Q  x )  e.  B
) )  ->  (
w  <Q  y  ->  (
w  +Q  x )  e.  B ) )
2816, 27syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  ( y  +Q  x )  e.  B
) )  ->  ( -.  y  e.  A  ->  ( w  +Q  x
)  e.  B ) )
2928exp32 589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  ->  ( B  e.  P.  ->  ( ( y  +Q  x )  e.  B  ->  ( -.  y  e.  A  ->  ( w  +Q  x )  e.  B
) ) ) )
3029com34 79 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  ->  ( B  e.  P.  ->  ( -.  y  e.  A  ->  ( (
y  +Q  x )  e.  B  ->  (
w  +Q  x )  e.  B ) ) ) )
3130imp4b 574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( w  +Q  x )  e.  B
) )
3231exlimdv 1646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  B  e.  P. )  ->  ( E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  ->  (
w  +Q  x )  e.  B ) )
337, 32syl5bi 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  B  e.  P. )  ->  ( x  e.  C  ->  ( w  +Q  x )  e.  B
) )
3433exp31 588 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  A  -> 
( B  e.  P.  ->  ( x  e.  C  ->  ( w  +Q  x
)  e.  B ) ) ) )
3534com23 74 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  A  -> 
( x  e.  C  ->  ( w  +Q  x
)  e.  B ) ) ) )
3635imp43 579 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( w  e.  A  /\  x  e.  C
) )  ->  (
w  +Q  x )  e.  B )
37 eleq1 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( w  +Q  x )  ->  (
z  e.  B  <->  ( w  +Q  x )  e.  B
) )
3837biimparc 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  +Q  x
)  e.  B  /\  z  =  ( w  +Q  x ) )  -> 
z  e.  B )
3936, 38sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  (
w  e.  A  /\  x  e.  C )
)  /\  z  =  ( w  +Q  x
) )  ->  z  e.  B )
4039exp31 588 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( w  e.  A  /\  x  e.  C )  ->  (
z  =  ( w  +Q  x )  -> 
z  e.  B ) ) )
4140rexlimdvv 2828 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( E. w  e.  A  E. x  e.  C  z  =  ( w  +Q  x )  ->  z  e.  B
) )
4241adantrr 698 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  A  C.  B ) )  ->  ( E. w  e.  A  E. x  e.  C  z  =  ( w  +Q  x )  ->  z  e.  B ) )
436, 42sylbid 207 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  A  C.  B ) )  ->  ( z  e.  ( A  +P.  C
)  ->  z  e.  B ) )
4443ssrdv 3346 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  A  C.  B ) )  ->  ( A  +P.  C )  C_  B
)
4544anassrs 630 1  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  ( A  +P.  C )  C_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   E.wrex 2698    C_ wss 3312    C. wpss 3313   class class class wbr 4204    X. cxp 4867  (class class class)co 6072   Q.cnq 8716    +Q cplq 8719    <Q cltq 8722   P.cnp 8723    +P. cpp 8725
This theorem is referenced by:  ltexpri  8909
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-omul 6720  df-er 6896  df-ni 8738  df-pli 8739  df-mi 8740  df-lti 8741  df-plpq 8774  df-mpq 8775  df-ltpq 8776  df-enq 8777  df-nq 8778  df-erq 8779  df-plq 8780  df-mq 8781  df-1nq 8782  df-ltnq 8784  df-np 8847  df-plp 8849
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