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Theorem ltexprlem7 8662
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  B  C_  ( A  +P.  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem7
Dummy variables  z  w  v  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . . . . 8  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
21ltexprlem5 8660 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  ->  C  e.  P. )
3 ltaddpr 8654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  A  <P  ( A  +P.  C ) )
4 addclpr 8638 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( A  +P.  C
)  e.  P. )
5 ltprord 8650 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( A  +P.  C )  e.  P. )  -> 
( A  <P  ( A  +P.  C )  <->  A  C.  ( A  +P.  C ) ) )
64, 5syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( A  <P  ( A  +P.  C )  <->  A  C.  ( A  +P.  C ) ) )
73, 6mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  A  C.  ( A  +P.  C ) )
87pssssd 3274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  A  C_  ( A  +P.  C ) )
98sseld 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( w  e.  A  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) )
109a1d 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( w  e.  B  ->  ( w  e.  A  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) )
1110a1d 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  B  ->  ( w  e.  A  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
1211com4r 80 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  A  ->  (
( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
1312exp3a 425 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  A  ->  ( A  e.  P.  ->  ( C  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) ) )
14 prnmadd 8617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  P.  /\  w  e.  B )  ->  E. v ( w  +Q  v )  e.  B )
1514ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  P.  ->  (
w  e.  B  ->  E. v ( w  +Q  v )  e.  B
) )
16 elprnq 8611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  ( w  +Q  v )  e.  Q. )
17 addnqf 8568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
1817fdmi 5360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
19 0nnq 8544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  (/)  e.  Q.
2018, 19ndmovrcl 5968 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  +Q  v )  e.  Q.  ->  (
w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)
2116, 20syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  ( w  e. 
Q.  /\  v  e.  Q. ) )
2221simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  w  e.  Q. )
23 vex 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  v  e. 
_V
2423prlem934 8653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  P.  ->  E. z  e.  A  -.  (
z  +Q  v )  e.  A )
2524adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  E. z  e.  A  -.  ( z  +Q  v
)  e.  A )
26 prub 8614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  ( -.  w  e.  A  ->  z  <Q  w ) )
27 ltexnq 8595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
z  <Q  w  <->  E. x
( z  +Q  x
)  =  w ) )
2827adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  ( z  <Q  w 
<->  E. x ( z  +Q  x )  =  w ) )
2926, 28sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  ( -.  w  e.  A  ->  E. x
( z  +Q  x
)  =  w ) )
3029ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( w  e.  Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  E. x
( z  +Q  x
)  =  w ) ) )
3130ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v )  e.  A
) )  ->  (
w  e.  Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  E. x ( z  +Q  x )  =  w ) ) )
32 vex 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  z  e. 
_V
33 vex 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  x  e. 
_V
34 addcomnq 8571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( f  +Q  g )  =  ( g  +Q  f
)
35 addassnq 8578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( f  +Q  g )  +Q  h )  =  ( f  +Q  (
g  +Q  h ) )
3632, 23, 33, 34, 35caov32 6009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( z  +Q  v )  +Q  x )  =  ( ( z  +Q  x )  +Q  v
)
37 oveq1 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( z  +Q  x )  =  w  ->  (
( z  +Q  x
)  +Q  v )  =  ( w  +Q  v ) )
3836, 37syl5eq 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( z  +Q  x )  =  w  ->  (
( z  +Q  v
)  +Q  x )  =  ( w  +Q  v ) )
3938eleq1d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  +Q  x )  =  w  ->  (
( ( z  +Q  v )  +Q  x
)  e.  B  <->  ( w  +Q  v )  e.  B
) )
4039biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  +Q  x
)  =  w  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  ( ( z  +Q  v )  +Q  x )  e.  B
)
41 ovex 5845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  +Q  v )  e. 
_V
42 eleq1 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  =  ( z  +Q  v )  ->  (
y  e.  A  <->  ( z  +Q  v )  e.  A
) )
4342notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( y  =  ( z  +Q  v )  ->  ( -.  y  e.  A  <->  -.  ( z  +Q  v
)  e.  A ) )
44 oveq1 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  =  ( z  +Q  v )  ->  (
y  +Q  x )  =  ( ( z  +Q  v )  +Q  x ) )
4544eleq1d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( y  =  ( z  +Q  v )  ->  (
( y  +Q  x
)  e.  B  <->  ( (
z  +Q  v )  +Q  x )  e.  B ) )
4643, 45anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  =  ( z  +Q  v )  ->  (
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  <->  ( -.  ( z  +Q  v
)  e.  A  /\  ( ( z  +Q  v )  +Q  x
)  e.  B ) ) )
4741, 46spcev 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( -.  ( z  +Q  v )  e.  A  /\  ( ( z  +Q  v )  +Q  x
)  e.  B )  ->  E. y ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B ) )
481abeq2i 2391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
4947, 48sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( -.  ( z  +Q  v )  e.  A  /\  ( ( z  +Q  v )  +Q  x
)  e.  B )  ->  x  e.  C
)
5040, 49sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( -.  ( z  +Q  v )  e.  A  /\  ( ( z  +Q  x )  =  w  /\  ( w  +Q  v )  e.  B
) )  ->  x  e.  C )
51 df-plp 8603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  +P.  =  ( x  e.  P. ,  w  e.  P.  |->  { z  |  E. f  e.  x  E. v  e.  w  z  =  ( f  +Q  v ) } )
52 addclnq 8565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( f  +Q  v
)  e.  Q. )
5351, 52genpprecl 8621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( ( z  e.  A  /\  x  e.  C )  ->  (
z  +Q  x )  e.  ( A  +P.  C ) ) )
5450, 53sylan2i 636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( ( z  e.  A  /\  ( -.  ( z  +Q  v
)  e.  A  /\  ( ( z  +Q  x )  =  w  /\  ( w  +Q  v )  e.  B
) ) )  -> 
( z  +Q  x
)  e.  ( A  +P.  C ) ) )
5554exp4d 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( z  e.  A  ->  ( -.  ( z  +Q  v )  e.  A  ->  ( (
( z  +Q  x
)  =  w  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  ( z  +Q  x )  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
5655imp42 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  C  e.  P. )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v
)  e.  A ) )  /\  ( ( z  +Q  x )  =  w  /\  (
w  +Q  v )  e.  B ) )  ->  ( z  +Q  x )  e.  ( A  +P.  C ) )
57 eleq1 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  +Q  x )  =  w  ->  (
( z  +Q  x
)  e.  ( A  +P.  C )  <->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) )
5857ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  C  e.  P. )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v
)  e.  A ) )  /\  ( ( z  +Q  x )  =  w  /\  (
w  +Q  v )  e.  B ) )  ->  ( ( z  +Q  x )  e.  ( A  +P.  C
)  <->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) )
5956, 58mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  C  e.  P. )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v
)  e.  A ) )  /\  ( ( z  +Q  x )  =  w  /\  (
w  +Q  v )  e.  B ) )  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) )
6059exp32 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v )  e.  A
) )  ->  (
( z  +Q  x
)  =  w  -> 
( ( w  +Q  v )  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) )
6160exlimdv 1665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v )  e.  A
) )  ->  ( E. x ( z  +Q  x )  =  w  ->  ( ( w  +Q  v )  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) )
6231, 61syl6d 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v )  e.  A
) )  ->  (
w  e.  Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( ( w  +Q  v )  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
6362exp32 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( z  e.  A  ->  ( -.  ( z  +Q  v )  e.  A  ->  ( w  e.  Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( ( w  +Q  v
)  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) ) ) )
6463rexlimdv 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( E. z  e.  A  -.  ( z  +Q  v )  e.  A  ->  ( w  e.  Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( ( w  +Q  v
)  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) ) )
6525, 64mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( w  e.  Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( (
w  +Q  v )  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C
) ) ) ) )
6665com14 82 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  +Q  v )  e.  B  ->  (
w  e.  Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( ( A  e. 
P.  /\  C  e.  P. )  ->  w  e.  ( A  +P.  C
) ) ) ) )
6766adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  ( w  e. 
Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
6822, 67mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) )
6968ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  P.  ->  (
( w  +Q  v
)  e.  B  -> 
( -.  w  e.  A  ->  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  w  e.  ( A  +P.  C
) ) ) ) )
7069exlimdv 1665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  P.  ->  ( E. v ( w  +Q  v )  e.  B  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  w  e.  ( A  +P.  C
) ) ) ) )
7115, 70syld 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  P.  ->  (
w  e.  B  -> 
( -.  w  e.  A  ->  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  w  e.  ( A  +P.  C
) ) ) ) )
7271com4t 79 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  w  e.  A  -> 
( ( A  e. 
P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( B  e.  P.  ->  (
w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
7372exp3a 425 . . . . . . . 8  |-  ( -.  w  e.  A  -> 
( A  e.  P.  ->  ( C  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) ) )
7413, 73pm2.61i 156 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  P.  ->  ( C  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
752, 74syl5 28 . . . . . 6  |-  ( A  e.  P.  ->  (
( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  ->  ( B  e. 
P.  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
7675exp3a 425 . . . . 5  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( A  C.  B  -> 
( B  e.  P.  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) ) )
7776com34 77 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( A  C.  B  -> 
( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) ) )
7877pm2.43d 44 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( A  C.  B  -> 
( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
7978imp31 421 . 2  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) )
8079ssrdv 3186 1  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  B  C_  ( A  +P.  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1685   {cab 2270   E.wrex 2545    C_ wss 3153    C. wpss 3154   class class class wbr 4024    X. cxp 4686  (class class class)co 5820   Q.cnq 8470    +Q cplq 8473    <Q cltq 8476   P.cnp 8477    +P. cpp 8479    <P cltp 8481
This theorem is referenced by:  ltexpri  8663
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-omul 6480  df-er 6656  df-ni 8492  df-pli 8493  df-mi 8494  df-lti 8495  df-plpq 8528  df-mpq 8529  df-ltpq 8530  df-enq 8531  df-nq 8532  df-erq 8533  df-plq 8534  df-mq 8535  df-1nq 8536  df-rq 8537  df-ltnq 8538  df-np 8601  df-plp 8603  df-ltp 8605
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