Theorem ltle 5674

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'.

Assertion

Ref	Expression
ltle	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B -> A <_ B))

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 5672	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A <_ B <-> (A < B \/ A = B)))
2		orc 267	. 2 |- (A < B -> (A < B \/ A = B))
3	1, 2	syl5bir 208	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B -> A <_ B))

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 220   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994   class class class wbr 2692  RRcr 5387   <_ cle 5449   < clt 5640

This theorem is referenced by:  ltlen 5676  letr 5679  ltlei 5734  letric 5774  lep1 5952  letrp1 5956  ltmul12a 5985  lediv12a 6041  ledivp1 6050  avgle 6190  rpge0 6200  rpneg 6211  bndndx 6241  elnnz1 6323  zltp1le 6349  uzind 6376  uzwo3lem1 6388  fsequb2 6655  expnbnd 6852  expnlbnd2 6854  sqrlem5 6878  absmax 7100  seq1ublem 7114  cvg1i 7123  cvg2i 7125  fsum1ps 7221  fsumsplit 7223  fsumcmpndx2 7245  clm4lei 7284  climge0 7315  climmullem4 7326  climcaui 7359  caucvglem2 7361  caucvglem6 7365  iserzgt0 7415  reccnv 7422  infcvglem3 7427  cvgratlem2ALT 7453  cvgratlem1 7455  cvgratlem2 7456  cvgratlem5 7459  ivthlem7 7492  erelem3 7526  efaddlem25 7567  eftabsi 7580  abspef01tlubi 7603  absefm1lei 7620  cos01gt0 7686  absef 7692  efieq1re 7694  znnen 7714  ruclem33 7754  ssblex 8066  metcnpi3 8103  metcnpi4 8104  metcni2 8106  lmnn 8146  bcthlem18 8227  nmblolbii 8714  blocnilem 8719  ubthlem5 8791  ubthlem10 8796  ubthlem13 8800  ubthlem13OLD 8801  pilem2 8939  pilem3 8940  sincosq1lem 8970  efifolem4 8997  bcsiALT 9322  pjthlem10 9504  nmbdoplbi 10228  nmcopexlem3 10232  nmcoplbi 10237  nmbdfnlbi 10257  nmcfnexlem3 10261  nmcfnlbi 10266  nmopcoi 10307  branmfn 10317  branmfnOLD 10318  leopmul 10347  nmopleid 10352  mslb1 11152  2wsms 11153  reconnlem4 11510  ivthALT 11515  rddif 11869  absrdbnd 11870  incsequz2 11880  nnubfi 11881  iccsplit 11919  icoopnst 11940  iocopnst 11941  totbndbnd 12000  heiborlem12 12022  heiborlem33 12043  rrntotbndlem1 12076

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-ltp 5244  df-enr 5320  df-nr 5321  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-c 5394  df-r 5398  df-lt 5401  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645

Copyright terms: Public domain