Theorem ltlei 5581

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference).

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
ltlei.1	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
ltlei	|- A <_ B

Proof of Theorem ltlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 |- A < B
2		lt.1	. . 3 |- A e. RR
3		lt.2	. . 3 |- B e. RR
4	2, 3	ltle 5580	. 2 |- (A < B -> A <_ B)
5	1, 4	ax-mp 7	1 |- A <_ B

Syntax hints:   e. wcel 958   class class class wbr 2619  RRcr 5233   <_ cle 5295   < clt 5486

This theorem is referenced by:  lemulge11t 5848  ledivp1 5906  ltdivp1 5907  flhalft 6246  expge0t 6591  exple1t 6607  expubndt 6608  sqrlem6 6678  sqrlem24 6696  sqrgt0i 6697  sqrlem26 6698  sqr1 6716  sqr2gt1lt2 6719  sqr2irrlem1 6724  sqr2irrlem4 6727  absexpt 6868  abs1m 6904  faclbnd3 6947  faclbnd4lem1 6948  bcpasc2 6967  ser1f0 7170  expcnvlem2 7228  georeclim 7240  geoisumr 7243  0.999... 7246  ivthlem4 7284  ivthlem7 7287  ivthlem8 7288  isupivth 7290  dsupivthlem 7291  erelem2 7320  efaddlem10 7347  efaddlem20 7357  ef01tllem2 7384  ef01tllem2OLD 7385  absef01tlub 7388  reeff1olem1 7424  sinbndt 7465  cosbndt 7466  cos2bnd 7475  dscmet 7918  nvm1 8292  nvmtri 8299  nv1 8304  ipid 8363  nmosetn0 8428  nmo0 8451  ubthlem12 8540  ubthlem13 8541  minveclem16 8560  minveclem21 8565  minveclem25 8569  minveclem35 8579  minveclem38 8582  pilem2 8672  sinhalfpilem 8679  sincosq1lem 8703  sincos4thpi 8710  sincos6thpi 8711  sineq0 8713  efifolem4 8725  efifolem5 8726  efifolem6 8727  efifolem7 8728  efif1lem7 8736  resslogrn 8753  normlem6 8981  normlem7tALT 8985  norm-ii 9004  normsub 9008  normpar2 9023  norm1t 9121  projlem2 9187  projlem4 9189  projlem5 9190  projlem6 9191  projlem18 9203  projlem28 9213  nmopsetn0 9792  nmfnsetn0 9805  nmopge0t 9835  nmfnge0t 9851  nmop0 9910  nmfn0 9911  nmcopexlem5 9955  nmcfnexlem5 9984  hstle1t 10153  strlem1 10177  strlem3a 10179  strlem5 10182  jplem1 10195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-ltp 5090  df-enr 5166  df-nr 5167  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-c 5240  df-r 5244  df-lt 5247  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491

Copyright terms: Public domain