Theorem ltlent 5495

Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'.

Assertion

Ref	Expression
ltlent	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B <-> (A <_ B /\ B =/= A)))

Proof of Theorem ltlent

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlet 5493	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B -> A <_ B))
2		ltnet 5488	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ A < B) -> B =/= A)
3	2	3expia 833	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B -> B =/= A))
4	1, 3	jcad 598	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B -> (A <_ B /\ B =/= A)))
5		leloet 5491	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A <_ B <-> (A < B \/ A = B)))
6		ax-1 4	. . . . 5 |- (A < B -> (B =/= A -> A < B))
7		pm2.24 79	. . . . . . 7 |- (B = A -> (-. B = A -> A < B))
8	7	eqcoms 1470	. . . . . 6 |- (A = B -> (-. B = A -> A < B))
9		df-ne 1579	. . . . . 6 |- (B =/= A <-> -. B = A)
10	8, 9	syl5ib 206	. . . . 5 |- (A = B -> (B =/= A -> A < B))
11	6, 10	jaoi 341	. . . 4 |- ((A < B \/ A = B) -> (B =/= A -> A < B))
12	5, 11	syl6bi 214	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A <_ B -> (B =/= A -> A < B)))
13	12	imp3a 361	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A <_ B /\ B =/= A) -> A < B))
14	4, 13	impbid 514	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B <-> (A <_ B /\ B =/= A)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577   class class class wbr 2609  RRcr 5205   <_ cle 5267   < clt 5458

This theorem is referenced by:  ltlen 5549  elfzp1 6442  metgt0 7761  iintlem1 10476

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-ltp 5062  df-enr 5138  df-nr 5139  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-c 5212  df-r 5216  df-lt 5219  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463

Copyright terms: Public domain