Theorem ltmpi 5011

Description: Ordering property of multiplication for positive integers.

Hypotheses

Ref	Expression
ltmpi.1	|- A e. V
ltmpi.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
ltmpi	|- (C e. N. -> (A <N B <-> (C .N A) <N (C .N B)))

Proof of Theorem ltmpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmpi.2	. 2 |- B e. V
2		dmmulpi 4999	. 2 |- dom .N = (N. X. N.)
3		ltmpi.1	. 2 |- A e. V
4		ltrelpi 4997	. 2 |- <N (_ (N. X. N.)
5		0npi 4990	. 2 |- -. (/) e. N.
6		iba 641	. . . . . . . . . 10 |- ((/) e. C -> (A e. B <-> (A e. B /\ (/) e. C)))
7		nnmord 4237	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> ((A e. B /\ (/) e. C) <-> (C .o A) e. (C .o B)))
8	6, 7	sylan9bbr 540	. . . . . . . . 9 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ (/) e. C) -> (A e. B <-> (C .o A) e. (C .o B)))
9	8	3exp1 848	. . . . . . . 8 |- (A e. om -> (B e. om -> (C e. om -> ((/) e. C -> (A e. B <-> (C .o A) e. (C .o B))))))
10	9	imp4b 365	. . . . . . 7 |- ((A e. om /\ B e. om) -> ((C e. om /\ (/) e. C) -> (A e. B <-> (C .o A) e. (C .o B))))
11		elni2 4985	. . . . . . 7 |- (C e. N. <-> (C e. om /\ (/) e. C))
12	10, 11	syl5ib 206	. . . . . 6 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (C e. N. -> (A e. B <-> (C .o A) e. (C .o B))))
13		pinn 4986	. . . . . 6 |- (A e. N. -> A e. om)
14		pinn 4986	. . . . . 6 |- (B e. N. -> B e. om)
15	12, 13, 14	syl2an 454	. . . . 5 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (C e. N. -> (A e. B <-> (C .o A) e. (C .o B))))
16	15	imp 350	. . . 4 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> (A e. B <-> (C .o A) e. (C .o B)))
17		ltpiord 4995	. . . . 5 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A <N B <-> A e. B))
18	17	adantr 389	. . . 4 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> (A <N B <-> A e. B))
19		ltpiord 4995	. . . . . . . 8 |- (((C .N A) e. N. /\ (C .N B) e. N.) -> ((C .N A) <N (C .N B) <-> (C .N A) e. (C .N B)))
20		mulclpi 5001	. . . . . . . 8 |- ((C e. N. /\ A e. N.) -> (C .N A) e. N.)
21		mulclpi 5001	. . . . . . . 8 |- ((C e. N. /\ B e. N.) -> (C .N B) e. N.)
22	19, 20, 21	syl2an 454	. . . . . . 7 |- (((C e. N. /\ A e. N.) /\ (C e. N. /\ B e. N.)) -> ((C .N A) <N (C .N B) <-> (C .N A) e. (C .N B)))
23		mulpiord 4993	. . . . . . . . 9 |- ((C e. N. /\ A e. N.) -> (C .N A) = (C .o A))
24	23	adantr 389	. . . . . . . 8 |- (((C e. N. /\ A e. N.) /\ (C e. N. /\ B e. N.)) -> (C .N A) = (C .o A))
25		mulpiord 4993	. . . . . . . . 9 |- ((C e. N. /\ B e. N.) -> (C .N B) = (C .o B))
26	25	adantl 388	. . . . . . . 8 |- (((C e. N. /\ A e. N.) /\ (C e. N. /\ B e. N.)) -> (C .N B) = (C .o B))
27	24, 26	eleq12d 1539	. . . . . . 7 |- (((C e. N. /\ A e. N.) /\ (C e. N. /\ B e. N.)) -> ((C .N A) e. (C .N B) <-> (C .o A) e. (C .o B)))
28	22, 27	bitrd 527	. . . . . 6 |- (((C e. N. /\ A e. N.) /\ (C e. N. /\ B e. N.)) -> ((C .N A) <N (C .N B) <-> (C .o A) e. (C .o B)))
29	28	anandis 512	. . . . 5 |- ((C e. N. /\ (A e. N. /\ B e. N.)) -> ((C .N A) <N (C .N B) <-> (C .o A) e. (C .o B)))
30	29	ancoms 436	. . . 4 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> ((C .N A) <N (C .N B) <-> (C .o A) e. (C .o B)))
31	16, 18, 30	3bitr4d 549	. . 3 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> (A <N B <-> (C .N A) <N (C .N B)))
32	31	3impa 827	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> (A <N B <-> (C .N A) <N (C .N B)))
33	1, 2, 3, 4, 5, 32	ndmord 4042	1 |- (C e. N. -> (A <N B <-> (C .N A) <N (C .N B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807  (/)c0 2276   class class class wbr 2614  omcom 3126  (class class class)co 3954   .o comu 4121  N.cnpi 4952   .N cmi 4954   <N clti 4955

This theorem is referenced by:  ordpipq 5036  ltsopq 5055  ltapq 5056  ltmpq 5057  1lt2pq 5058  prlem934b 5118

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-ni 4980  df-mi 4982  df-lti 4983

Copyright terms: Public domain