HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem ltmul12it 5843
Description: Comparison of product of two positive numbers.
Assertion
Ref Expression
ltmul12it |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A < B)) /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 <_ C /\ C < D))) -> (A x. C) < (B x. D))
Proof of Theorem ltmul12it
StepHypRef Expression
1 lemul1it 5839 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ (C e. RR /\ 0 <_ C)) /\ A <_ B) -> (A x. C) <_ (B x. C))
2 simpll 414 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> A e. RR)
32adantr 391 . . . . 5 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ ((0 <_ A /\ A < B) /\ (0 <_ C /\ C < D))) -> A e. RR)
4 simplr 415 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> B e. RR)
54adantr 391 . . . . 5 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ ((0 <_ A /\ A < B) /\ (0 <_ C /\ C < D))) -> B e. RR)
6 simpll 414 . . . . . . 7 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 <_ C /\ C < D)) -> C e. RR)
7 simprl 416 . . . . . . 7 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 <_ C /\ C < D)) -> 0 <_ C)
86, 7jca 288 . . . . . 6 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 <_ C /\ C < D)) -> (C e. RR /\ 0 <_ C))
98ad2ant2l 410 . . . . 5 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ ((0 <_ A /\ A < B) /\ (0 <_ C /\ C < D))) -> (C e. RR /\ 0 <_ C))
103, 5, 93jca 821 . . . 4 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ ((0 <_ A /\ A < B) /\ (0 <_ C /\ C < D))) -> (A e. RR /\ B e. RR /\ (C e. RR /\ 0 <_ C)))
11 ltlet 5532 . . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B -> A <_ B))
1211imp 350 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ A < B) -> A <_ B)
1312adantrl 396 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A < B)) -> A <_ B)
1413ad2ant2r 411 . . . 4 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ ((0 <_ A /\ A < B) /\ (0 <_ C /\ C < D))) -> A <_ B)
151, 10, 14sylanc 473 . . 3 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ ((0 <_ A /\ A < B) /\ (0 <_ C /\ C < D))) -> (A x. C) <_ (B x. C))
16 ltmul2t 5833 . . . . . . 7 |- (((C e. RR /\ D e. RR /\ B e. RR) /\ 0 < B) -> (C < D <-> (B x. C) < (B x. D)))
17 simprl 416 . . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> C e. RR)
18 simprr 417 . . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> D e. RR)
1917, 18, 43jca 821 . . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> (C e. RR /\ D e. RR /\ B e. RR))
2019adantr 391 . . . . . . 7 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ (0 <_ A /\ A < B)) -> (C e. RR /\ D e. RR /\ B e. RR))
21 0re 5452 . . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
22 lelttrt 5535 . . . . . . . . . 10 |- ((0 e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 <_ A /\ A < B) -> 0 < B))
2321, 22mp3an1 905 . . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 <_ A /\ A < B) -> 0 < B))
2423imp 350 . . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A < B)) -> 0 < B)
2524adantlr 395 . . . . . . 7 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ (0 <_ A /\ A < B)) -> 0 < B)
2616, 20, 25sylanc 473 . . . . . 6 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ (0 <_ A /\ A < B)) -> (C < D <-> (B x. C) < (B x. D)))
2726biimpa 418 . . . . 5 |- (((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ (0 <_ A /\ A < B)) /\ C < D) -> (B x. C) < (B x. D))
2827anasss 442 . . . 4 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ ((0 <_ A /\ A < B) /\ C < D)) -> (B x. C) < (B x. D))
2928adantrrl 404 . . 3 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ ((0 <_ A /\ A < B) /\ (0 <_ C /\ C < D))) -> (B x. C) < (B x. D))
30 lelttrt 5535 . . . . 5 |- (((A x. C) e. RR /\ (B x. C) e. RR /\ (B x. D) e. RR) -> (((A x. C) <_ (B x. C) /\ (B x. C) < (B x. D)) -> (A x. C) < (B x. D)))
31 axmulrcl 5286 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ C e. RR) -> (A x. C) e. RR)
3231ad2ant2r 411 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> (A x. C) e. RR)
33 axmulrcl 5286 . . . . . 6 |- ((B e. RR /\ C e. RR) -> (B x. C) e. RR)
3433ad2ant2lr 412 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> (B x. C) e. RR)
35 axmulrcl 5286 . . . . . 6 |- ((B e. RR /\ D e. RR) -> (B x. D) e. RR)
3635ad2ant2l 410 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> (B x. D) e. RR)
3730, 32, 34, 36syl3anc 860 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> (((A x. C) <_ (B x. C) /\ (B x. C) < (B x. D)) -> (A x. C) < (B x. D)))
3837adantr 391 . . 3 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ ((0 <_ A /\ A < B) /\ (0 <_ C /\ C < D))) -> (((A x. C) <_ (B x. C) /\ (B x. C) < (B x. D)) -> (A x. C) < (B x. D)))
3915, 29, 38mp2and 705 . 2 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ ((0 <_ A /\ A < B) /\ (0 <_ C /\ C < D))) -> (A x. C) < (B x. D))
4039an4s 510 1 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A < B)) /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 <_ C /\ C < D))) -> (A x. C) < (B x. D))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   e. wcel 960   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  RRcr 5245  0cc0 5246   x. cmul 5251   <_ cle 5307   < clt 5498
This theorem is referenced by:  climmullem3 7122
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503
Copyright terms: Public domain