MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmul1i Unicode version

Theorem ltmul1i 9918
Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 16-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1  |-  A  e.  RR
prodgt0.2  |-  B  e.  RR
ltmul1.3  |-  C  e.  RR
Assertion
Ref Expression
ltmul1i  |-  ( 0  <  C  ->  ( A  <  B  <->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  C )
) )

Proof of Theorem ltmul1i
StepHypRef Expression
1 ltmul1.3 . 2  |-  C  e.  RR
2 ltplus1.1 . . 3  |-  A  e.  RR
3 prodgt0.2 . . 3  |-  B  e.  RR
4 ltmul1 9849 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( A  <  B  <->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  C ) ) )
52, 3, 4mp3an12 1269 . 2  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  <  C )  -> 
( A  <  B  <->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  C ) ) )
61, 5mpan 652 1  |-  ( 0  <  C  ->  ( A  <  B  <->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  C )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   class class class wbr 4204  (class class class)co 6072   RRcr 8978   0cc0 8979    x. cmul 8984    < clt 9109
This theorem is referenced by:  ltmul1ii  9928
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-riota 6540  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-ltxr 9114  df-sub 9282  df-neg 9283
  Copyright terms: Public domain W3C validator