MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmul2d Unicode version

Theorem ltmul2d 10428
Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmul1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltmul1d.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltmul1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
ltmul2d  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( C  x.  A )  <  ( C  x.  B ) ) )

Proof of Theorem ltmul2d
StepHypRef Expression
1 ltmul1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltmul1d.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 ltmul1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
43rpregt0d 10396 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
5 ltmul2 9607 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( A  <  B  <->  ( C  x.  A )  <  ( C  x.  B ) ) )
61, 2, 4, 5syl3anc 1182 1  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( C  x.  A )  <  ( C  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737    x. cmul 8742    < clt 8867   RR+crp 10354
This theorem is referenced by:  ltmul2dd  10442  argregt0  19964  argimgt0  19966  bposlem7  20529  bposlem9  20531
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-neg 9040  df-rp 10355
  Copyright terms: Public domain W3C validator