MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltneg Unicode version

Theorem ltneg 9488
Description: Negative of both sides of 'less than'. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ltneg  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -u B  <  -u A
) )

Proof of Theorem ltneg
StepHypRef Expression
1 0re 9051 . . 3  |-  0  e.  RR
2 ltsub2 9485 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( 0  -  B )  < 
( 0  -  A
) ) )
31, 2mp3an3 1268 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( 0  -  B )  <  ( 0  -  A ) ) )
4 df-neg 9254 . . 3  |-  -u B  =  ( 0  -  B )
5 df-neg 9254 . . 3  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
64, 5breq12i 4185 . 2  |-  ( -u B  <  -u A  <->  ( 0  -  B )  < 
( 0  -  A
) )
73, 6syl6bbr 255 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -u B  <  -u A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721   class class class wbr 4176  (class class class)co 6044   RRcr 8949   0cc0 8950    < clt 9080    - cmin 9251   -ucneg 9252
This theorem is referenced by:  ltnegcon1  9489  ltnegcon2  9490  lt0neg1  9494  lt0neg2  9495  ltord2  9516  leord2  9517  eqord2  9518  ltnegi  9531  ltnegd  9564  infm3  9927  negiso  9944  rebtwnz  10533  xltnegi  10762  iooneg  10977  logcj  20458  logcnlem3  20492  asinneg  20683  ltflcei  26144
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-riota 6512  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254
  Copyright terms: Public domain W3C validator