MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltneg Unicode version

Theorem ltneg 9270
Description: Negative of both sides of 'less than'. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ltneg  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -u B  <  -u A
) )

Proof of Theorem ltneg
StepHypRef Expression
1 0re 8834 . . 3  |-  0  e.  RR
2 ltsub2 9267 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( 0  -  B )  < 
( 0  -  A
) ) )
31, 2mp3an3 1268 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( 0  -  B )  <  ( 0  -  A ) ) )
4 df-neg 9036 . . 3  |-  -u B  =  ( 0  -  B )
5 df-neg 9036 . . 3  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
64, 5breq12i 4034 . 2  |-  ( -u B  <  -u A  <->  ( 0  -  B )  < 
( 0  -  A
) )
73, 6syl6bbr 256 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -u B  <  -u A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1685   class class class wbr 4025  (class class class)co 5820   RRcr 8732   0cc0 8733    < clt 8863    - cmin 9033   -ucneg 9034
This theorem is referenced by:  ltnegcon1  9271  ltnegcon2  9272  lt0neg1  9276  lt0neg2  9277  ltord2  9298  leord2  9299  eqord2  9300  ltnegi  9313  ltnegd  9346  infm3  9709  negiso  9726  rebtwnz  10311  xltnegi  10538  iooneg  10751  logcj  19955  logcnlem3  19986  asinneg  20177  stoweidlem7  27156  stoweidlem13  27162
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-iota 6253  df-riota 6300  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036
  Copyright terms: Public domain W3C validator