MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltneg Unicode version

Theorem ltneg 9228
Description: Negative of both sides of 'less than'. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ltneg  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -u B  <  -u A
) )

Proof of Theorem ltneg
StepHypRef Expression
1 0re 8792 . . 3  |-  0  e.  RR
2 ltsub2 9225 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( 0  -  B )  < 
( 0  -  A
) ) )
31, 2mp3an3 1271 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( 0  -  B )  <  ( 0  -  A ) ) )
4 df-neg 8994 . . 3  |-  -u B  =  ( 0  -  B )
5 df-neg 8994 . . 3  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
64, 5breq12i 3992 . 2  |-  ( -u B  <  -u A  <->  ( 0  -  B )  < 
( 0  -  A
) )
73, 6syl6bbr 256 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -u B  <  -u A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1621   class class class wbr 3983  (class class class)co 5778   RRcr 8690   0cc0 8691    < clt 8821    - cmin 8991   -ucneg 8992
This theorem is referenced by:  ltnegcon1  9229  ltnegcon2  9230  lt0neg1  9234  lt0neg2  9235  ltord2  9256  leord2  9257  eqord2  9258  ltnegi  9271  ltnegd  9304  infm3  9667  negiso  9684  rebtwnz  10268  xltnegi  10495  iooneg  10708  logcj  19908  logcnlem3  19939  asinneg  20130  stoweidlem7  27077  stoweidlem13  27083
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-iota 6211  df-riota 6258  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994
  Copyright terms: Public domain W3C validator