Theorem ltprord 5134

Description: Positive real 'less than' in terms of proper subset.

Assertion

Ref	Expression
ltprord	|- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A <P B <-> A (. B))

Proof of Theorem ltprord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1534	. . . . 5 |- (x = A -> (x e. P. <-> A e. P.))
2	1	anbi1d 617	. . . 4 |- (x = A -> ((x e. P. /\ y e. P.) <-> (A e. P. /\ y e. P.)))
3		psseq1 2135	. . . 4 |- (x = A -> (x (. y <-> A (. y))
4	2, 3	anbi12d 628	. . 3 |- (x = A -> (((x e. P. /\ y e. P.) /\ x (. y) <-> ((A e. P. /\ y e. P.) /\ A (. y)))
5		eleq1 1534	. . . . 5 |- (y = B -> (y e. P. <-> B e. P.))
6	5	anbi2d 616	. . . 4 |- (y = B -> ((A e. P. /\ y e. P.) <-> (A e. P. /\ B e. P.)))
7		psseq2 2136	. . . 4 |- (y = B -> (A (. y <-> A (. B))
8	6, 7	anbi12d 628	. . 3 |- (y = B -> (((A e. P. /\ y e. P.) /\ A (. y) <-> ((A e. P. /\ B e. P.) /\ A (. B)))
9		df-ltp 5090	. . 3 |- <P = {<.x, y>. | ((x e. P. /\ y e. P.) /\ x (. y)}
10	4, 8, 9	brabg 2818	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A <P B <-> ((A e. P. /\ B e. P.) /\ A (. B)))
11	10	bianabs 653	1 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A <P B <-> A (. B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   (. wpss 2048   class class class wbr 2619  P.cnp 4985   <P cltp 4989

This theorem is referenced by:  ltsopr 5136  ltaddpr 5140  ltexprlem7 5148  ltexpri 5149  suplem1pr 5161  suplem2pr 5162

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-ltp 5090

Copyright terms: Public domain