Theorem ltrect 5842

Description: The reciprocal of both sides of 'less than'.

Assertion

Ref	Expression
ltrect	|- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> (A < B <-> (1 / B) < (1 / A)))

Proof of Theorem ltrect

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2619	. . . . . 6 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (0 < A <-> 0 < if(A e. RR, A, 0)))
2	1	anbi1d 616	. . . . 5 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> ((0 < A /\ 0 < B) <-> (0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < B)))
3		breq1 2618	. . . . . 6 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (A < B <-> if(A e. RR, A, 0) < B))
4		opreq2 3964	. . . . . . 7 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (1 / A) = (1 / if(A e. RR, A, 0)))
5	4	breq2d 2626	. . . . . 6 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> ((1 / B) < (1 / A) <-> (1 / B) < (1 / if(A e. RR, A, 0))))
6	3, 5	bibi12d 628	. . . . 5 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> ((A < B <-> (1 / B) < (1 / A)) <-> (if(A e. RR, A, 0) < B <-> (1 / B) < (1 / if(A e. RR, A, 0)))))
7	2, 6	imbi12d 625	. . . 4 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (((0 < A /\ 0 < B) -> (A < B <-> (1 / B) < (1 / A))) <-> ((0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < B) -> (if(A e. RR, A, 0) < B <-> (1 / B) < (1 / if(A e. RR, A, 0))))))
8		breq2 2619	. . . . . 6 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (0 < B <-> 0 < if(B e. RR, B, 0)))
9	8	anbi2d 615	. . . . 5 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> ((0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < B) <-> (0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < if(B e. RR, B, 0))))
10		breq2 2619	. . . . . 6 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (if(A e. RR, A, 0) < B <-> if(A e. RR, A, 0) < if(B e. RR, B, 0)))
11		opreq2 3964	. . . . . . 7 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (1 / B) = (1 / if(B e. RR, B, 0)))
12	11	breq1d 2625	. . . . . 6 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> ((1 / B) < (1 / if(A e. RR, A, 0)) <-> (1 / if(B e. RR, B, 0)) < (1 / if(A e. RR, A, 0))))
13	10, 12	bibi12d 628	. . . . 5 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> ((if(A e. RR, A, 0) < B <-> (1 / B) < (1 / if(A e. RR, A, 0))) <-> (if(A e. RR, A, 0) < if(B e. RR, B, 0) <-> (1 / if(B e. RR, B, 0)) < (1 / if(A e. RR, A, 0)))))
14	9, 13	imbi12d 625	. . . 4 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (((0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < B) -> (if(A e. RR, A, 0) < B <-> (1 / B) < (1 / if(A e. RR, A, 0)))) <-> ((0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < if(B e. RR, B, 0)) -> (if(A e. RR, A, 0) < if(B e. RR, B, 0) <-> (1 / if(B e. RR, B, 0)) < (1 / if(A e. RR, A, 0))))))
15		0re 5423	. . . . . 6 |- 0 e. RR
16	15	elimel 2391	. . . . 5 |- if(A e. RR, A, 0) e. RR
17	15	elimel 2391	. . . . 5 |- if(B e. RR, B, 0) e. RR
18	16, 17	ltrec 5837	. . . 4 |- ((0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < if(B e. RR, B, 0)) -> (if(A e. RR, A, 0) < if(B e. RR, B, 0) <-> (1 / if(B e. RR, B, 0)) < (1 / if(A e. RR, A, 0))))
19	7, 14, 18	dedth2h 2384	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 < A /\ 0 < B) -> (A < B <-> (1 / B) < (1 / A))))
20	19	imp 350	. 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 < A /\ 0 < B)) -> (A < B <-> (1 / B) < (1 / A)))
21	20	an4s 508	1 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> (A < B <-> (1 / B) < (1 / A)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  ifcif 2358   class class class wbr 2615  (class class class)co 3958  RRcr 5216  0cc0 5217  1c1 5218   / cdiv 5277   < clt 5469

This theorem is referenced by:  ltdiv2t 5845  ltrec1t 5846  reclt1t 5856  recgt1t 5857  nnreclt 6029  expord2t 6549

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682

Copyright terms: Public domain