Theorem ltresr 5241

Description: Ordering of real subset of complex numbers in terms of signed reals.

Hypotheses

Ref	Expression
ltresr.1	|- A e. V
ltresr.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
ltresr	|- (<.A, 0R>. <R <.B, 0R>. <-> A <R B)

Proof of Theorem ltresr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 2778	. . . 4 |- <.B, 0R>. e. V
2		ltrelre 5235	. . . 4 |- <R (_ (RR X. RR)
3	1, 2	brel 3219	. . 3 |- (<.A, 0R>. <R <.B, 0R>. -> (<.A, 0R>. e. RR /\ <.B, 0R>. e. RR))
4		opelreal 5232	. . . 4 |- (<.A, 0R>. e. RR <-> A e. R.)
5		opelreal 5232	. . . 4 |- (<.B, 0R>. e. RR <-> B e. R.)
6	4, 5	anbi12i 482	. . 3 |- ((<.A, 0R>. e. RR /\ <.B, 0R>. e. RR) <-> (A e. R. /\ B e. R.))
7	3, 6	sylib 198	. 2 |- (<.A, 0R>. <R <.B, 0R>. -> (A e. R. /\ B e. R.))
8		ltresr.2	. . 3 |- B e. V
9		ltrelsr 5163	. . 3 |- <R (_ (R. X. R.)
10	8, 9	brel 3219	. 2 |- (A <R B -> (A e. R. /\ B e. R.))
11		opex 2778	. . . . . . 7 |- <.A, 0R>. e. V
12		eleq1 1532	. . . . . . . . 9 |- (x = <.A, 0R>. -> (x e. RR <-> <.A, 0R>. e. RR))
13	12	anbi1d 616	. . . . . . . 8 |- (x = <.A, 0R>. -> ((x e. RR /\ y e. RR) <-> (<.A, 0R>. e. RR /\ y e. RR)))
14		eqeq1 1479	. . . . . . . . . . 11 |- (x = <.A, 0R>. -> (x = <.z, 0R>. <-> <.A, 0R>. = <.z, 0R>.))
15	14	anbi1d 616	. . . . . . . . . 10 |- (x = <.A, 0R>. -> ((x = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) <-> (<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.)))
16	15	anbi1d 616	. . . . . . . . 9 |- (x = <.A, 0R>. -> (((x = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) /\ z <R w) <-> ((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) /\ z <R w)))
17	16	2exbidv 1280	. . . . . . . 8 |- (x = <.A, 0R>. -> (E.zE.w((x = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) /\ z <R w) <-> E.zE.w((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) /\ z <R w)))
18	13, 17	anbi12d 627	. . . . . . 7 |- (x = <.A, 0R>. -> (((x e. RR /\ y e. RR) /\ E.zE.w((x = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) /\ z <R w)) <-> ((<.A, 0R>. e. RR /\ y e. RR) /\ E.zE.w((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) /\ z <R w))))
19		eleq1 1532	. . . . . . . . 9 |- (y = <.B, 0R>. -> (y e. RR <-> <.B, 0R>. e. RR))
20	19	anbi2d 615	. . . . . . . 8 |- (y = <.B, 0R>. -> ((<.A, 0R>. e. RR /\ y e. RR) <-> (<.A, 0R>. e. RR /\ <.B, 0R>. e. RR)))
21		eqeq1 1479	. . . . . . . . . . 11 |- (y = <.B, 0R>. -> (y = <.w, 0R>. <-> <.B, 0R>. = <.w, 0R>.))
22	21	anbi2d 615	. . . . . . . . . 10 |- (y = <.B, 0R>. -> ((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) <-> (<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ <.B, 0R>. = <.w, 0R>.)))
23	22	anbi1d 616	. . . . . . . . 9 |- (y = <.B, 0R>. -> (((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) /\ z <R w) <-> ((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ <.B, 0R>. = <.w, 0R>.) /\ z <R w)))
24	23	2exbidv 1280	. . . . . . . 8 |- (y = <.B, 0R>. -> (E.zE.w((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) /\ z <R w) <-> E.zE.w((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ <.B, 0R>. = <.w, 0R>.) /\ z <R w)))
25	20, 24	anbi12d 627	. . . . . . 7 |- (y = <.B, 0R>. -> (((<.A, 0R>. e. RR /\ y e. RR) /\ E.zE.w((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) /\ z <R w)) <-> ((<.A, 0R>. e. RR /\ <.B, 0R>. e. RR) /\ E.zE.w((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ <.B, 0R>. = <.w, 0R>.) /\ z <R w))))
26		df-lt 5230	. . . . . . 7 |- <R = {<.x, y>. | ((x e. RR /\ y e. RR) /\ E.zE.w((x = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) /\ z <R w))}
27	11, 1, 18, 25, 26	brab 2817	. . . . . 6 |- (<.A, 0R>. <R <.B, 0R>. <-> ((<.A, 0R>. e. RR /\ <.B, 0R>. e. RR) /\ E.zE.w((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ <.B, 0R>. = <.w, 0R>.) /\ z <R w)))
28	27	baib 684	. . . . 5 |- ((<.A, 0R>. e. RR /\ <.B, 0R>. e. RR) -> (<.A, 0R>. <R <.B, 0R>. <-> E.zE.w((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ <.B, 0R>. = <.w, 0R>.) /\ z <R w)))
29		ltresr.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. V
30	29	eqresr 5238	. . . . . . . . 9 |- (<.A, 0R>. = <.z, 0R>. <-> A = z)
31	8	eqresr 5238	. . . . . . . . 9 |- (<.B, 0R>. = <.w, 0R>. <-> B = w)
32	30, 31	anbi12i 482	. . . . . . . 8 |- ((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ <.B, 0R>. = <.w, 0R>.) <-> (A = z /\ B = w))
33		visset 1810	. . . . . . . . 9 |- w e. V
34	29, 8, 33	opth 2783	. . . . . . . 8 |- (<.A, B>. = <.z, w>. <-> (A = z /\ B = w))
35	32, 34	bitr4 176	. . . . . . 7 |- ((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ <.B, 0R>. = <.w, 0R>.) <-> <.A, B>. = <.z, w>.)
36	35	anbi1i 481	. . . . . 6 |- (((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ <.B, 0R>. = <.w, 0R>.) /\ z <R w) <-> (<.A, B>. = <.z, w>. /\ z <R w))
37	36	2exbii 1051	. . . . 5 |- (E.zE.w((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ <.B, 0R>. = <.w, 0R>.) /\ z <R w) <-> E.zE.w(<.A, B>. = <.z, w>. /\ z <R w))
38	28, 37	syl6bb 535	. . . 4 |- ((<.A, 0R>. e. RR /\ <.B, 0R>. e. RR) -> (<.A, 0R>. <R <.B, 0R>. <-> E.zE.w(<.A, B>. = <.z, w>. /\ z <R w)))
39	38, 4, 5	syl2anbr 456	. . 3 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (<.A, 0R>. <R <.B, 0R>. <-> E.zE.w(<.A, B>. = <.z, w>. /\ z <R w)))
40		breq12 2620	. . . 4 |- ((z = A /\ w = B) -> (z <R w <-> A <R B))
41	40	copsex2g 2789	. . 3 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (E.zE.w(<.A, B>. = <.z, w>. /\ z <R w) <-> A <R B))
42	39, 41	bitrd 527	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (<.A, 0R>. <R <.B, 0R>. <-> A <R B))
43	7, 10, 42	pm5.21nii 678	1 |- (<.A, 0R>. <R <.B, 0R>. <-> A <R B)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979  Vcvv 1808  <.cop 2408   class class class wbr 2615  R.cnr 4976  0Rc0r 4977   <R cltr 4982  RRcr 5216   <R cltrr 5221

This theorem is referenced by:  supre 5243  ltsor 5244  pre-axltadd 5272  pre-axmulgt0 5273

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-enr 5149  df-nr 5150  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-r 5227  df-lt 5230

Copyright terms: Public domain