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Theorem ltrnco 31453
Description: The composition of two translations is a translation. Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, line 15 on p. 117. (Contributed by NM, 31-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnco.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrnco.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrnco  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)

Proof of Theorem ltrnco
Dummy variables  q  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 ltrnco.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( (
LDil `  K ) `  W )  =  ( ( LDil `  K
) `  W )
4 ltrnco.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
52, 3, 4ltrnldil 30856 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)
653adant3 977 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)
72, 3, 4ltrnldil 30856 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  G  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)
873adant2 976 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  G  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)
92, 3ldilco 30850 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )  /\  G  e.  (
( LDil `  K ) `  W ) )  -> 
( F  o.  G
)  e.  ( (
LDil `  K ) `  W ) )
101, 6, 8, 9syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)
11 simp11 987 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
12 simp2l 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  p  e.  ( Atoms `  K )
)
13 simp3l 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  -.  p
( le `  K
) W )
1412, 13jca 519 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  p ( le
`  K ) W ) )
15 simp2r 984 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  q  e.  ( Atoms `  K )
)
16 simp3r 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  -.  q
( le `  K
) W )
1715, 16jca 519 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( q  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  q ( le
`  K ) W ) )
18 simp12 988 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  F  e.  T )
19 simp13 989 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  G  e.  T )
20 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
21 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
22 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
23 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
2420, 21, 22, 23, 2, 4cdlemg41 31452 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  p
( le `  K
) W )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( p (
join `  K )
( ( F  o.  G ) `  p
) ) ( meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K
) ( ( F  o.  G ) `  q ) ) (
meet `  K ) W ) )
2511, 14, 17, 18, 19, 24syl122anc 1193 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( (
p ( join `  K
) ( ( F  o.  G ) `  p ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K ) ( ( F  o.  G ) `
 q ) ) ( meet `  K
) W ) )
26253exp 1152 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W )  ->  ( ( p ( join `  K
) ( ( F  o.  G ) `  p ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K ) ( ( F  o.  G ) `
 q ) ) ( meet `  K
) W ) ) ) )
2726ralrimivv 2789 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  A. p  e.  ( Atoms `  K ) A. q  e.  ( Atoms `  K ) ( ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q
( le `  K
) W )  -> 
( ( p (
join `  K )
( ( F  o.  G ) `  p
) ) ( meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K
) ( ( F  o.  G ) `  q ) ) (
meet `  K ) W ) ) )
2820, 21, 22, 23, 2, 3, 4isltrn 30853 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( F  o.  G )  e.  T  <->  ( ( F  o.  G
)  e.  ( (
LDil `  K ) `  W )  /\  A. p  e.  ( Atoms `  K ) A. q  e.  ( Atoms `  K )
( ( -.  p
( le `  K
) W  /\  -.  q ( le `  K ) W )  ->  ( ( p ( join `  K
) ( ( F  o.  G ) `  p ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K ) ( ( F  o.  G ) `
 q ) ) ( meet `  K
) W ) ) ) ) )
29283ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( F  o.  G )  e.  T  <->  ( ( F  o.  G )  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )  /\  A. p  e.  (
Atoms `  K ) A. q  e.  ( Atoms `  K ) ( ( -.  p ( le
`  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W )  ->  (
( p ( join `  K ) ( ( F  o.  G ) `
 p ) ) ( meet `  K
) W )  =  ( ( q (
join `  K )
( ( F  o.  G ) `  q
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) ) )
3010, 27, 29mpbir2and 889 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   class class class wbr 4204    o. ccom 4874   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   lecple 13528   joincjn 14393   meetcmee 14394   Atomscatm 29998   HLchlt 30085   LHypclh 30718   LDilcldil 30834   LTrncltrn 30835
This theorem is referenced by:  trlcocnv  31454  trlcoabs2N  31456  trlcoat  31457  trlconid  31459  trlcolem  31460  trlcone  31462  cdlemg44  31467  cdlemg46  31469  cdlemg47  31470  trljco  31474  tgrpgrplem  31483  tendoidcl  31503  tendococl  31506  tendoplcl2  31512  tendoplco2  31513  tendoplcl  31515  tendo0co2  31522  tendoicl  31530  cdlemh1  31549  cdlemh2  31550  cdlemh  31551  cdlemi2  31553  cdlemi  31554  cdlemk2  31566  cdlemk3  31567  cdlemk4  31568  cdlemk8  31572  cdlemk9  31573  cdlemk9bN  31574  cdlemkvcl  31576  cdlemk10  31577  cdlemk11  31583  cdlemk12  31584  cdlemk14  31588  cdlemk11u  31605  cdlemk12u  31606  cdlemk37  31648  cdlemkfid1N  31655  cdlemkid1  31656  cdlemk45  31681  cdlemk47  31683  cdlemk48  31684  cdlemk50  31686  cdlemk52  31688  cdlemk53a  31689  cdlemk54  31692  cdlemk55a  31693  cdlemk55u1  31699  cdlemk55u  31700  tendospcanN  31758  dvalveclem  31760  dialss  31781  dia2dimlem4  31802  dvhvaddcl  31830  diblss  31905  cdlemn3  31932  dihopelvalcpre  31983  dih1  32021  dihglbcpreN  32035  dihjatcclem3  32155  dihjatcclem4  32156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-map 7012  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-oposet 29911  df-ol 29913  df-oml 29914  df-covers 30001  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086  df-llines 30232  df-lplanes 30233  df-lvols 30234  df-lines 30235  df-psubsp 30237  df-pmap 30238  df-padd 30530  df-lhyp 30722  df-laut 30723  df-ldil 30838  df-ltrn 30839  df-trl 30893
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