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Theorem ltrnel 30950
Description: The lattice translation of an atom not under the fiducial co-atom is also an atom not under the fiducial co-atom. Remark below Lemma B in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 22-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
ltrnel.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
ltrnel.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrnel.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrnel  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )

Proof of Theorem ltrnel
StepHypRef Expression
1 simp3l 983 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
2 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 ltrnel.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 30101 . . . . 5  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
54adantr 451 . . . 4  |-  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  ->  P  e.  (
Base `  K )
)
6 ltrnel.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 ltrnel.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
82, 3, 6, 7ltrnatb 30948 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )
95, 8syl3an3 1217 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )
101, 9mpbid 201 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  e.  A
)
11 simp3r 984 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  -.  P  .<_  W )
12 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 simp2 956 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
141, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  ( Base `  K )
)
15 simp1r 980 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
162, 6lhpbase 30809 . . . . . 6  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
1715, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  ( Base `  K )
)
18 ltrnel.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
192, 18, 6, 7ltrnle 30940 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  (
Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( P  .<_  W  <->  ( F `  P )  .<_  ( F `
 W ) ) )
2012, 13, 14, 17, 19syl112anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .<_  W  <->  ( F `  P )  .<_  ( F `
 W ) ) )
21 simp1l 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
22 hllat 30175 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2321, 22syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
242, 18latref 14175 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  ( Base `  K ) )  ->  W  .<_  W )
2523, 17, 24syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  .<_  W )
262, 18, 6, 7ltrnval1 30945 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( W  e.  (
Base `  K )  /\  W  .<_  W ) )  ->  ( F `  W )  =  W )
2712, 13, 17, 25, 26syl112anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  W )  =  W )
2827breq2d 4051 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .<_  ( F `  W
)  <->  ( F `  P )  .<_  W ) )
2920, 28bitrd 244 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .<_  W  <->  ( F `  P )  .<_  W ) )
3011, 29mtbid 291 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  -.  ( F `  P )  .<_  W )
3110, 30jca 518 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   Basecbs 13164   lecple 13231   Latclat 14167   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LHypclh 30795   LTrncltrn 30912
This theorem is referenced by:  ltrncoelN  30954  trlcnv  30976  trljat2  30978  cdlemc3  31004  cdlemc5  31006  cdlemd9  31017  cdlemeiota  31396  cdlemg1cex  31399  cdlemg2l  31414  cdlemg2m  31415  cdlemg7fvbwN  31418  cdlemg4a  31419  cdlemg4b1  31420  cdlemg4b2  31421  cdlemg4d  31424  cdlemg4e  31425  cdlemg4  31428  cdlemg6e  31433  cdlemg7fvN  31435  cdlemg8b  31439  cdlemg8c  31440  cdlemg10bALTN  31447  cdlemg10a  31451  cdlemg12d  31457  cdlemg13a  31462  cdlemg13  31463  cdlemg14f  31464  cdlemg17b  31473  cdlemg17f  31477  cdlemg17i  31480  trlcoabs  31532  trlcoabs2N  31533  trlcolem  31537  cdlemg43  31541  cdlemg44b  31543  cdlemi2  31630  cdlemi  31631  cdlemk2  31643  cdlemk3  31644  cdlemk4  31645  cdlemk8  31649  cdlemk9  31650  cdlemk9bN  31651  cdlemki  31652  cdlemksv2  31658  cdlemk12  31661  cdlemkoatnle  31662  cdlemk12u  31683  cdlemkfid1N  31732  cdlemk47  31760  dia2dimlem1  31876  dia2dimlem2  31877  dia2dimlem3  31878  dia2dimlem6  31881  cdlemm10N  31930  dih1dimatlem0  32140  dih1dimatlem  32141
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-undef 6314  df-riota 6320  df-map 6790  df-poset 14096  df-plt 14108  df-glb 14125  df-p0 14161  df-lat 14168  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916
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