Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnel Unicode version

Theorem ltrnel 30667
Description: The lattice translation of an atom not under the fiducial co-atom is also an atom not under the fiducial co-atom. Remark below Lemma B in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 22-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
ltrnel.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
ltrnel.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrnel.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrnel  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )

Proof of Theorem ltrnel
StepHypRef Expression
1 simp3l 985 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
2 eqid 2430 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 ltrnel.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 29818 . . . . 5  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
54adantr 452 . . . 4  |-  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  ->  P  e.  (
Base `  K )
)
6 ltrnel.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 ltrnel.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
82, 3, 6, 7ltrnatb 30665 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )
95, 8syl3an3 1219 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )
101, 9mpbid 202 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  e.  A
)
11 simp3r 986 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  -.  P  .<_  W )
12 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 simp2 958 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
141, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  ( Base `  K )
)
15 simp1r 982 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
162, 6lhpbase 30526 . . . . . 6  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
1715, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  ( Base `  K )
)
18 ltrnel.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
192, 18, 6, 7ltrnle 30657 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  (
Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( P  .<_  W  <->  ( F `  P )  .<_  ( F `
 W ) ) )
2012, 13, 14, 17, 19syl112anc 1188 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .<_  W  <->  ( F `  P )  .<_  ( F `
 W ) ) )
21 simp1l 981 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
22 hllat 29892 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2321, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
242, 18latref 14465 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  ( Base `  K ) )  ->  W  .<_  W )
2523, 17, 24syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  .<_  W )
262, 18, 6, 7ltrnval1 30662 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( W  e.  (
Base `  K )  /\  W  .<_  W ) )  ->  ( F `  W )  =  W )
2712, 13, 17, 25, 26syl112anc 1188 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  W )  =  W )
2827breq2d 4211 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .<_  ( F `  W
)  <->  ( F `  P )  .<_  W ) )
2920, 28bitrd 245 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .<_  W  <->  ( F `  P )  .<_  W ) )
3011, 29mtbid 292 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  -.  ( F `  P )  .<_  W )
3110, 30jca 519 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4199   ` cfv 5440   Basecbs 13452   lecple 13519   Latclat 14457   Atomscatm 29792   HLchlt 29879   LHypclh 30512   LTrncltrn 30629
This theorem is referenced by:  ltrncoelN  30671  trlcnv  30693  trljat2  30695  cdlemc3  30721  cdlemc5  30723  cdlemd9  30734  cdlemeiota  31113  cdlemg1cex  31116  cdlemg2l  31131  cdlemg2m  31132  cdlemg7fvbwN  31135  cdlemg4a  31136  cdlemg4b1  31137  cdlemg4b2  31138  cdlemg4d  31141  cdlemg4e  31142  cdlemg4  31145  cdlemg6e  31150  cdlemg7fvN  31152  cdlemg8b  31156  cdlemg8c  31157  cdlemg10bALTN  31164  cdlemg10a  31168  cdlemg12d  31174  cdlemg13a  31179  cdlemg13  31180  cdlemg14f  31181  cdlemg17b  31190  cdlemg17f  31194  cdlemg17i  31197  trlcoabs  31249  trlcoabs2N  31250  trlcolem  31254  cdlemg43  31258  cdlemg44b  31260  cdlemi2  31347  cdlemi  31348  cdlemk2  31360  cdlemk3  31361  cdlemk4  31362  cdlemk8  31366  cdlemk9  31367  cdlemk9bN  31368  cdlemki  31369  cdlemksv2  31375  cdlemk12  31378  cdlemkoatnle  31379  cdlemk12u  31400  cdlemkfid1N  31449  cdlemk47  31477  dia2dimlem1  31593  dia2dimlem2  31594  dia2dimlem3  31595  dia2dimlem6  31598  cdlemm10N  31647  dih1dimatlem0  31857  dih1dimatlem  31858
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-op 3810  df-uni 4003  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-id 4485  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-undef 6529  df-riota 6535  df-map 7006  df-poset 14386  df-plt 14398  df-glb 14415  df-p0 14451  df-lat 14458  df-oposet 29705  df-ol 29707  df-oml 29708  df-covers 29795  df-ats 29796  df-atl 29827  df-cvlat 29851  df-hlat 29880  df-lhyp 30516  df-laut 30517  df-ldil 30632  df-ltrn 30633
  Copyright terms: Public domain W3C validator