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Theorem ltrnq 8789
Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. Proposition 9-2.6(iv) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 9-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltrnq  |-  ( A 
<Q  B  <->  ( *Q `  B )  <Q  ( *Q `  A ) )

Proof of Theorem ltrnq
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 8736 . . 3  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
21brel 4866 . 2  |-  ( A 
<Q  B  ->  ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
31brel 4866 . . 3  |-  ( ( *Q `  B ) 
<Q  ( *Q `  A
)  ->  ( ( *Q `  B )  e. 
Q.  /\  ( *Q `  A )  e.  Q. ) )
4 dmrecnq 8778 . . . . 5  |-  dom  *Q  =  Q.
5 0nnq 8734 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  Q.
64, 5ndmfvrcl 5696 . . . 4  |-  ( ( *Q `  B )  e.  Q.  ->  B  e.  Q. )
74, 5ndmfvrcl 5696 . . . 4  |-  ( ( *Q `  A )  e.  Q.  ->  A  e.  Q. )
86, 7anim12ci 551 . . 3  |-  ( ( ( *Q `  B
)  e.  Q.  /\  ( *Q `  A )  e.  Q. )  -> 
( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )
)
93, 8syl 16 . 2  |-  ( ( *Q `  B ) 
<Q  ( *Q `  A
)  ->  ( A  e.  Q.  /\  B  e. 
Q. ) )
10 breq1 4156 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  <Q  y  <->  A  <Q  y ) )
11 fveq2 5668 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( *Q `  x )  =  ( *Q `  A
) )
1211breq2d 4165 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( *Q `  y
)  <Q  ( *Q `  x )  <->  ( *Q `  y )  <Q  ( *Q `  A ) ) )
1310, 12bibi12d 313 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  <Q  y  <->  ( *Q `  y ) 
<Q  ( *Q `  x
) )  <->  ( A  <Q  y  <->  ( *Q `  y )  <Q  ( *Q `  A ) ) ) )
14 breq2 4157 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( A  <Q  y  <->  A  <Q  B ) )
15 fveq2 5668 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  ( *Q `  y )  =  ( *Q `  B
) )
1615breq1d 4163 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  (
( *Q `  y
)  <Q  ( *Q `  A )  <->  ( *Q `  B )  <Q  ( *Q `  A ) ) )
1714, 16bibi12d 313 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  (
( A  <Q  y  <->  ( *Q `  y ) 
<Q  ( *Q `  A
) )  <->  ( A  <Q  B  <->  ( *Q `  B )  <Q  ( *Q `  A ) ) ) )
18 recclnq 8776 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Q.  ->  ( *Q `  x )  e. 
Q. )
19 recclnq 8776 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Q.  ->  ( *Q `  y )  e. 
Q. )
20 mulclnq 8757 . . . . . 6  |-  ( ( ( *Q `  x
)  e.  Q.  /\  ( *Q `  y )  e.  Q. )  -> 
( ( *Q `  x )  .Q  ( *Q `  y ) )  e.  Q. )
2118, 19, 20syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  x )  .Q  ( *Q `  y ) )  e.  Q. )
22 ltmnq 8782 . . . . 5  |-  ( ( ( *Q `  x
)  .Q  ( *Q
`  y ) )  e.  Q.  ->  (
x  <Q  y  <->  ( (
( *Q `  x
)  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  x )  <Q 
( ( ( *Q
`  x )  .Q  ( *Q `  y
) )  .Q  y
) ) )
2321, 22syl 16 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( x  <Q  y  <->  ( ( ( *Q `  x )  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  x )  <Q 
( ( ( *Q
`  x )  .Q  ( *Q `  y
) )  .Q  y
) ) )
24 mulcomnq 8763 . . . . . . 7  |-  ( ( ( *Q `  x
)  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  x )  =  ( x  .Q  (
( *Q `  x
)  .Q  ( *Q
`  y ) ) )
25 mulassnq 8769 . . . . . . 7  |-  ( ( x  .Q  ( *Q
`  x ) )  .Q  ( *Q `  y ) )  =  ( x  .Q  (
( *Q `  x
)  .Q  ( *Q
`  y ) ) )
26 mulcomnq 8763 . . . . . . 7  |-  ( ( x  .Q  ( *Q
`  x ) )  .Q  ( *Q `  y ) )  =  ( ( *Q `  y )  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  x ) ) )
2724, 25, 263eqtr2i 2413 . . . . . 6  |-  ( ( ( *Q `  x
)  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  x )  =  ( ( *Q `  y )  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  x ) ) )
28 recidnq 8775 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
x  .Q  ( *Q
`  x ) )  =  1Q )
2928oveq2d 6036 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
( *Q `  y
)  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  x ) ) )  =  ( ( *Q
`  y )  .Q  1Q ) )
30 mulidnq 8773 . . . . . . . 8  |-  ( ( *Q `  y )  e.  Q.  ->  (
( *Q `  y
)  .Q  1Q )  =  ( *Q `  y ) )
3119, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
( *Q `  y
)  .Q  1Q )  =  ( *Q `  y ) )
3229, 31sylan9eq 2439 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  y )  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  x ) ) )  =  ( *Q
`  y ) )
3327, 32syl5eq 2431 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  x )  .Q  ( *Q `  y
) )  .Q  x
)  =  ( *Q
`  y ) )
34 mulassnq 8769 . . . . . . 7  |-  ( ( ( *Q `  x
)  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  y )  =  ( ( *Q `  x )  .Q  (
( *Q `  y
)  .Q  y ) )
35 mulcomnq 8763 . . . . . . . 8  |-  ( ( *Q `  y )  .Q  y )  =  ( y  .Q  ( *Q `  y ) )
3635oveq2i 6031 . . . . . . 7  |-  ( ( *Q `  x )  .Q  ( ( *Q
`  y )  .Q  y ) )  =  ( ( *Q `  x )  .Q  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) ) )
3734, 36eqtri 2407 . . . . . 6  |-  ( ( ( *Q `  x
)  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  y )  =  ( ( *Q `  x )  .Q  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) ) )
38 recidnq 8775 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) )  =  1Q )
3938oveq2d 6036 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
( *Q `  x
)  .Q  ( y  .Q  ( *Q `  y ) ) )  =  ( ( *Q
`  x )  .Q  1Q ) )
40 mulidnq 8773 . . . . . . . 8  |-  ( ( *Q `  x )  e.  Q.  ->  (
( *Q `  x
)  .Q  1Q )  =  ( *Q `  x ) )
4118, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
( *Q `  x
)  .Q  1Q )  =  ( *Q `  x ) )
4239, 41sylan9eqr 2441 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  x )  .Q  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) ) )  =  ( *Q
`  x ) )
4337, 42syl5eq 2431 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  x )  .Q  ( *Q `  y
) )  .Q  y
)  =  ( *Q
`  x ) )
4433, 43breq12d 4166 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( ( ( *Q `  x )  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  x )  <Q  (
( ( *Q `  x )  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  y )  <->  ( *Q `  y )  <Q  ( *Q `  x ) ) )
4523, 44bitrd 245 . . 3  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( x  <Q  y  <->  ( *Q `  y ) 
<Q  ( *Q `  x
) ) )
4613, 17, 45vtocl2ga 2962 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( *Q `  B )  <Q  ( *Q `  A ) ) )
472, 9, 46pm5.21nii 343 1  |-  ( A 
<Q  B  <->  ( *Q `  B )  <Q  ( *Q `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Q.cnq 8660   1Qc1q 8661    .Q cmq 8664   *Qcrq 8665    <Q cltq 8666
This theorem is referenced by:  addclprlem1  8826  reclem2pr  8858  reclem3pr  8859
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6841  df-ni 8682  df-mi 8684  df-lti 8685  df-mpq 8719  df-ltpq 8720  df-enq 8721  df-nq 8722  df-erq 8723  df-mq 8725  df-1nq 8726  df-rq 8727  df-ltnq 8728
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