Theorem ltrpq 5072

Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. Proposition 9-2.6(iv) of [Gleason] p. 120.

Hypotheses

Ref	Expression
ltrpq.1	|- A e. V
ltrpq.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
ltrpq	|- (A <Q B -> (*Q` B) <Q (*Q` A))

Proof of Theorem ltrpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrpq.2	. . 3 |- B e. V
2		ltrelpq 5038	. . 3 |- <Q (_ (Q. X. Q.)
3	1, 2	brel 3220	. 2 |- (A <Q B -> (A e. Q. /\ B e. Q.))
4		1q 5044	. . . . . . . . . . . 12 |- 1Q e. Q.
5	4	elisseti 1816	. . . . . . . . . . 11 |- 1Q e. V
6		ltsopq 5062	. . . . . . . . . . 11 |- <Q Or Q.
7	5, 6, 2	soirri 3439	. . . . . . . . . 10 |- -. 1Q <Q 1Q
8		recidpq 5058	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. Q. -> (A .Q (*Q` A)) = 1Q)
9		recidpq 5058	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. Q. -> (B .Q (*Q` B)) = 1Q)
10	8, 9	breqan12rd 2630	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. Q. /\ A e. Q.) -> ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)) <-> 1Q <Q 1Q))
11	7, 10	mtbiri 716	. . . . . . . . 9 |- ((B e. Q. /\ A e. Q.) -> -. (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)))
12	11	adantll 392	. . . . . . . 8 |- (((A <Q B /\ B e. Q.) /\ A e. Q.) -> -. (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)))
13		recclpq 5059	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. Q. -> (*Q` A) e. Q.)
14		ltrpq.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- A e. V
15		visset 1811	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. V
16		visset 1811	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. V
17	15, 16	ltmpq 5064	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. Q. -> (y <Q z <-> (x .Q y) <Q (x .Q z)))
18		fvex 3729	. . . . . . . . . . . . 13 |- (*Q` A) e. V
19	15, 16	mulcompq 5051	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y .Q z) = (z .Q y)
20	14, 1, 17, 18, 19	caoprord2 4054	. . . . . . . . . . . 12 |- ((*Q` A) e. Q. -> (A <Q B <-> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A))))
21	13, 20	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. Q. -> (A <Q B <-> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A))))
22	21	anbi1d 616	. . . . . . . . . 10 |- (A e. Q. -> ((A <Q B /\ B e. Q.) <-> ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ B e. Q.)))
23	22	biimpac 418	. . . . . . . . 9 |- (((A <Q B /\ B e. Q.) /\ A e. Q.) -> ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ B e. Q.))
24		breq2 2620	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B .Q (*Q` B)) = (B .Q (*Q` A)) -> ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)) <-> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A))))
25	24	biimprcd 156	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) -> ((B .Q (*Q` B)) = (B .Q (*Q` A)) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
26		opreq2 3966	. . . . . . . . . . . 12 |- ((*Q` B) = (*Q` A) -> (B .Q (*Q` B)) = (B .Q (*Q` A)))
27	25, 26	syl5 21	. . . . . . . . . . 11 |- ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) -> ((*Q` B) = (*Q` A) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
28	27	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- (((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ B e. Q.) -> ((*Q` B) = (*Q` A) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
29		oprex 3980	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A .Q (*Q` A)) e. V
30		oprex 3980	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B .Q (*Q` A)) e. V
31		oprex 3980	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B .Q (*Q` B)) e. V
32	29, 6, 2, 30, 31	sotri 3440	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ (B .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)))
33		fvex 3729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (*Q` B) e. V
34	18, 33	ltmpq 5064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B e. Q. -> ((*Q` A) <Q (*Q` B) <-> (B .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
35	34	biimpa 416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B e. Q. /\ (*Q` A) <Q (*Q` B)) -> (B .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)))
36	32, 35	sylan2 451	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ (B e. Q. /\ (*Q` A) <Q (*Q` B))) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)))
37	36	exp32 377	. . . . . . . . . . 11 |- ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) -> (B e. Q. -> ((*Q` A) <Q (*Q` B) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)))))
38	37	imp 350	. . . . . . . . . 10 |- (((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ B e. Q.) -> ((*Q` A) <Q (*Q` B) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
39	28, 38	jaod 424	. . . . . . . . 9 |- (((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ B e. Q.) -> (((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B)) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
40	23, 39	syl 10	. . . . . . . 8 |- (((A <Q B /\ B e. Q.) /\ A e. Q.) -> (((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B)) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
41	12, 40	mtod 108	. . . . . . 7 |- (((A <Q B /\ B e. Q.) /\ A e. Q.) -> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B)))
42	41	exp31 376	. . . . . 6 |- (A <Q B -> (B e. Q. -> (A e. Q. -> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B)))))
43	42	imp3a 361	. . . . 5 |- (A <Q B -> ((B e. Q. /\ A e. Q.) -> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B))))
44	43	com12 11	. . . 4 |- ((B e. Q. /\ A e. Q.) -> (A <Q B -> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B))))
45		sotric 2857	. . . . . 6 |- (( <Q Or Q. /\ ((*Q` B) e. Q. /\ (*Q` A) e. Q.)) -> ((*Q` B) <Q (*Q` A) <-> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B))))
46	6, 45	mpan 694	. . . . 5 |- (((*Q` B) e. Q. /\ (*Q` A) e. Q.) -> ((*Q` B) <Q (*Q` A) <-> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B))))
47		recclpq 5059	. . . . 5 |- (B e. Q. -> (*Q` B) e. Q.)
48	46, 47, 13	syl2an 454	. . . 4 |- ((B e. Q. /\ A e. Q.) -> ((*Q` B) <Q (*Q` A) <-> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B))))
49	44, 48	sylibrd 204	. . 3 |- ((B e. Q. /\ A e. Q.) -> (A <Q B -> (*Q` B) <Q (*Q` A)))
50	49	ancoms 436	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A <Q B -> (*Q` B) <Q (*Q` A)))
51	3, 50	mpcom 49	1 |- (A <Q B -> (*Q` B) <Q (*Q` A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  Vcvv 1809   class class class wbr 2616   Or wor 2836  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  Q.cnq 4966  1Qc1q 4967   .Q cmq 4969  *Qcrq 4970   <Q cltq 4971

This theorem is referenced by:  1pr 5104  addclprlem1 5105  reclem2pr 5144  reclem3pr 5145

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-ni 4987  df-mi 4989  df-lti 4990  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030

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