MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltsopr Unicode version

Theorem ltsopr 8624
Description: Positive real 'less than' is a strict ordering. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltsopr  |-  <P  Or  P.

Proof of Theorem ltsopr
StepHypRef Expression
1 pssirr 3251 . . . 4  |-  -.  x  C.  x
2 ltprord 8622 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  x  e.  P. )  ->  ( x  <P  x  <->  x 
C.  x ) )
31, 2mtbiri 296 . . 3  |-  ( ( x  e.  P.  /\  x  e.  P. )  ->  -.  x  <P  x
)
43anidms 629 . 2  |-  ( x  e.  P.  ->  -.  x  <P  x )
5 psstr 3255 . . 3  |-  ( ( x  C.  y  /\  y  C.  z )  ->  x  C.  z )
6 ltprord 8622 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( x  <P  y  <->  x 
C.  y ) )
763adant3 980 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
x  <P  y  <->  x  C.  y ) )
8 ltprord 8622 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( y  <P  z  <->  y 
C.  z ) )
983adant1 978 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
y  <P  z  <->  y  C.  z ) )
107, 9anbi12d 694 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
( x  <P  y  /\  y  <P  z )  <-> 
( x  C.  y  /\  y  C.  z ) ) )
11 ltprord 8622 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( x  <P  z  <->  x 
C.  z ) )
12113adant2 979 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
x  <P  z  <->  x  C.  z ) )
1310, 12imbi12d 313 . . 3  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
( ( x  <P  y  /\  y  <P  z
)  ->  x  <P  z )  <->  ( ( x 
C.  y  /\  y  C.  z )  ->  x  C.  z ) ) )
145, 13mpbiri 226 . 2  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
( x  <P  y  /\  y  <P  z )  ->  x  <P  z
) )
15 psslinpr 8623 . . 3  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( x  C.  y  \/  x  =  y  \/  y  C.  x ) )
16 biidd 230 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( x  =  y  <-> 
x  =  y ) )
17 ltprord 8622 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  P.  /\  x  e.  P. )  ->  ( y  <P  x  <->  y 
C.  x ) )
1817ancoms 441 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( y  <P  x  <->  y 
C.  x ) )
196, 16, 183orbi123d 1256 . . 3  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( ( x  <P  y  \/  x  =  y  \/  y  <P  x
)  <->  ( x  C.  y  \/  x  =  y  \/  y  C.  x ) ) )
2015, 19mpbird 225 . 2  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( x  <P  y  \/  x  =  y  \/  y  <P  x ) )
214, 14, 20issoi 4317 1  |-  <P  Or  P.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    \/ w3o 938    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    C. wpss 3128   class class class wbr 3997    Or wor 4285   P.cnp 8449    <P cltp 8453
This theorem is referenced by:  ltapr  8637  addcanpr  8638  suplem2pr  8645  ltsosr  8684
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-ni 8464  df-mi 8466  df-lti 8467  df-ltpq 8502  df-enq 8503  df-nq 8504  df-ltnq 8510  df-np 8573  df-ltp 8577
  Copyright terms: Public domain W3C validator