MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltsopr Unicode version

Theorem ltsopr 8651
Description: Positive real 'less than' is a strict ordering. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltsopr  |-  <P  Or  P.
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem ltsopr
StepHypRef Expression
1 pssirr 3277 . . . 4  |-  -.  x  C.  x
2 ltprord 8649 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  x  e.  P. )  ->  ( x  <P  x  <->  x 
C.  x ) )
31, 2mtbiri 296 . . 3  |-  ( ( x  e.  P.  /\  x  e.  P. )  ->  -.  x  <P  x
)
43anidms 628 . 2  |-  ( x  e.  P.  ->  -.  x  <P  x )
5 psstr 3281 . . 3  |-  ( ( x  C.  y  /\  y  C.  z )  ->  x  C.  z )
6 ltprord 8649 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( x  <P  y  <->  x 
C.  y ) )
763adant3 977 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
x  <P  y  <->  x  C.  y ) )
8 ltprord 8649 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( y  <P  z  <->  y 
C.  z ) )
983adant1 975 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
y  <P  z  <->  y  C.  z ) )
107, 9anbi12d 693 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
( x  <P  y  /\  y  <P  z )  <-> 
( x  C.  y  /\  y  C.  z ) ) )
11 ltprord 8649 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( x  <P  z  <->  x 
C.  z ) )
12113adant2 976 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
x  <P  z  <->  x  C.  z ) )
1310, 12imbi12d 313 . . 3  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
( ( x  <P  y  /\  y  <P  z
)  ->  x  <P  z )  <->  ( ( x 
C.  y  /\  y  C.  z )  ->  x  C.  z ) ) )
145, 13mpbiri 226 . 2  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
( x  <P  y  /\  y  <P  z )  ->  x  <P  z
) )
15 psslinpr 8650 . . 3  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( x  C.  y  \/  x  =  y  \/  y  C.  x ) )
16 biidd 230 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( x  =  y  <-> 
x  =  y ) )
17 ltprord 8649 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  P.  /\  x  e.  P. )  ->  ( y  <P  x  <->  y 
C.  x ) )
1817ancoms 441 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( y  <P  x  <->  y 
C.  x ) )
196, 16, 183orbi123d 1253 . . 3  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( ( x  <P  y  \/  x  =  y  \/  y  <P  x
)  <->  ( x  C.  y  \/  x  =  y  \/  y  C.  x ) ) )
2015, 19mpbird 225 . 2  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( x  <P  y  \/  x  =  y  \/  y  <P  x ) )
214, 14, 20issoi 4344 1  |-  <P  Or  P.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    \/ w3o 935    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685    C. wpss 3154   class class class wbr 4024    Or wor 4312   P.cnp 8476    <P cltp 8480
This theorem is referenced by:  ltapr  8664  addcanpr  8665  suplem2pr  8672  ltsosr  8711
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-ni 8491  df-mi 8493  df-lti 8494  df-ltpq 8529  df-enq 8530  df-nq 8531  df-ltnq 8537  df-np 8600  df-ltp 8604
  Copyright terms: Public domain W3C validator