Theorem ltsopr 5123

Description: Positive real 'less than' is a strict ordering. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122.

Assertion

Ref	Expression
ltsopr	|- <P Or P.

Proof of Theorem ltsopr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssirr 2144	. . . 4 |- -. x (. x
2		ltprord 5121	. . . 4 |- ((x e. P. /\ x e. P.) -> (x <P x <-> x (. x))
3	1, 2	mtbiri 716	. . 3 |- ((x e. P. /\ x e. P.) -> -. x <P x)
4	3	anidms 434	. 2 |- (x e. P. -> -. x <P x)
5		psstr 2148	. . 3 |- ((x (. y /\ y (. z) -> x (. z)
6		ltprord 5121	. . . . . 6 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> (x <P y <-> x (. y))
7	6	3adant3 798	. . . . 5 |- ((x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P.) -> (x <P y <-> x (. y))
8		ltprord 5121	. . . . . 6 |- ((y e. P. /\ z e. P.) -> (y <P z <-> y (. z))
9	8	3adant1 796	. . . . 5 |- ((x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P.) -> (y <P z <-> y (. z))
10	7, 9	anbi12d 627	. . . 4 |- ((x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P.) -> ((x <P y /\ y <P z) <-> (x (. y /\ y (. z)))
11		ltprord 5121	. . . . 5 |- ((x e. P. /\ z e. P.) -> (x <P z <-> x (. z))
12	11	3adant2 797	. . . 4 |- ((x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P.) -> (x <P z <-> x (. z))
13	10, 12	imbi12d 625	. . 3 |- ((x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P.) -> (((x <P y /\ y <P z) -> x <P z) <-> ((x (. y /\ y (. z) -> x (. z)))
14	5, 13	mpbiri 194	. 2 |- ((x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P.) -> ((x <P y /\ y <P z) -> x <P z))
15		psslinpr 5122	. . 3 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> (x (. y \/ x = y \/ y (. x))
16		pm4.2i 171	. . . 4 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> (x = y <-> x = y))
17		ltprord 5121	. . . . 5 |- ((y e. P. /\ x e. P.) -> (y <P x <-> y (. x))
18	17	ancoms 436	. . . 4 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> (y <P x <-> y (. x))
19	6, 16, 18	3orbi123d 891	. . 3 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> ((x <P y \/ x = y \/ y <P x) <-> (x (. y \/ x = y \/ y (. x)))
20	15, 19	mpbird 196	. 2 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> (x <P y \/ x = y \/ y <P x))
21	4, 14, 20	itlso 2860	1 |- <P Or P.

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   \/ w3o 773   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957   (. wpss 2046   class class class wbr 2616   Or wor 2836  P.cnp 4972   <P cltp 4976

This theorem is referenced by:  ltapr 5138  addcanpr 5139  suplem2pr 5149  ltsosr 5190

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-ni 4987  df-mi 4989  df-lti 4990  df-enq 5024  df-nq 5025  df-ltq 5029  df-np 5073  df-ltp 5077

Copyright terms: Public domain