Theorem ltsor 5241

Description: 'Less than' is a strict ordering on real subset of complex numbers. Note: use ltso 5492 and not this one after the complex number postulates are derived, in order to maintain a "clean" derivation of complex number theorems directly from postulates. The artificial right conjunct is intended to help discourage its accidental use in place of ltso 5492.

Assertion

Ref	Expression
ltsor	|- ( <R Or RR /\ RR = RR)

Proof of Theorem ltsor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 5230	. . . 4 |- (x e. RR <-> E.w(w e. R. /\ <.w, 0R>. = x))
2		elreal 5230	. . . 4 |- (y e. RR <-> E.v(v e. R. /\ <.v, 0R>. = y))
3		elreal 5230	. . . 4 |- (z e. RR <-> E.u(u e. R. /\ <.u, 0R>. = z))
4		breq1 2617	. . . . . 6 |- (<.w, 0R>. = x -> (<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. <-> x <R <.v, 0R>.))
5		eqeq1 1478	. . . . . . . 8 |- (<.w, 0R>. = x -> (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. <-> x = <.v, 0R>.))
6		breq2 2618	. . . . . . . 8 |- (<.w, 0R>. = x -> (<.v, 0R>. <R <.w, 0R>. <-> <.v, 0R>. <R x))
7	5, 6	orbi12d 626	. . . . . . 7 |- (<.w, 0R>. = x -> ((<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R <.w, 0R>.) <-> (x = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R x)))
8	7	negbid 610	. . . . . 6 |- (<.w, 0R>. = x -> (-. (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R <.w, 0R>.) <-> -. (x = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R x)))
9	4, 8	bibi12d 628	. . . . 5 |- (<.w, 0R>. = x -> ((<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. <-> -. (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R <.w, 0R>.)) <-> (x <R <.v, 0R>. <-> -. (x = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R x))))
10	4	anbi1d 616	. . . . . 6 |- (<.w, 0R>. = x -> ((<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. <R <.u, 0R>.) <-> (x <R <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. <R <.u, 0R>.)))
11		breq1 2617	. . . . . 6 |- (<.w, 0R>. = x -> (<.w, 0R>. <R <.u, 0R>. <-> x <R <.u, 0R>.))
12	10, 11	imbi12d 625	. . . . 5 |- (<.w, 0R>. = x -> (((<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. <R <.u, 0R>.) -> <.w, 0R>. <R <.u, 0R>.) <-> ((x <R <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. <R <.u, 0R>.) -> x <R <.u, 0R>.)))
13	9, 12	anbi12d 627	. . . 4 |- (<.w, 0R>. = x -> (((<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. <-> -. (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R <.w, 0R>.)) /\ ((<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. <R <.u, 0R>.) -> <.w, 0R>. <R <.u, 0R>.)) <-> ((x <R <.v, 0R>. <-> -. (x = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R x)) /\ ((x <R <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. <R <.u, 0R>.) -> x <R <.u, 0R>.))))
14		breq2 2618	. . . . . 6 |- (<.v, 0R>. = y -> (x <R <.v, 0R>. <-> x <R y))
15		eqeq2 1481	. . . . . . . 8 |- (<.v, 0R>. = y -> (x = <.v, 0R>. <-> x = y))
16		breq1 2617	. . . . . . . 8 |- (<.v, 0R>. = y -> (<.v, 0R>. <R x <-> y <R x))
17	15, 16	orbi12d 626	. . . . . . 7 |- (<.v, 0R>. = y -> ((x = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R x) <-> (x = y \/ y <R x)))
18	17	negbid 610	. . . . . 6 |- (<.v, 0R>. = y -> (-. (x = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R x) <-> -. (x = y \/ y <R x)))
19	14, 18	bibi12d 628	. . . . 5 |- (<.v, 0R>. = y -> ((x <R <.v, 0R>. <-> -. (x = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R x)) <-> (x <R y <-> -. (x = y \/ y <R x))))
20		breq1 2617	. . . . . . 7 |- (<.v, 0R>. = y -> (<.v, 0R>. <R <.u, 0R>. <-> y <R <.u, 0R>.))
21	14, 20	anbi12d 627	. . . . . 6 |- (<.v, 0R>. = y -> ((x <R <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. <R <.u, 0R>.) <-> (x <R y /\ y <R <.u, 0R>.)))
22	21	imbi1d 612	. . . . 5 |- (<.v, 0R>. = y -> (((x <R <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. <R <.u, 0R>.) -> x <R <.u, 0R>.) <-> ((x <R y /\ y <R <.u, 0R>.) -> x <R <.u, 0R>.)))
23	19, 22	anbi12d 627	. . . 4 |- (<.v, 0R>. = y -> (((x <R <.v, 0R>. <-> -. (x = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R x)) /\ ((x <R <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. <R <.u, 0R>.) -> x <R <.u, 0R>.)) <-> ((x <R y <-> -. (x = y \/ y <R x)) /\ ((x <R y /\ y <R <.u, 0R>.) -> x <R <.u, 0R>.))))
24		breq2 2618	. . . . . . 7 |- (<.u, 0R>. = z -> (y <R <.u, 0R>. <-> y <R z))
25	24	anbi2d 615	. . . . . 6 |- (<.u, 0R>. = z -> ((x <R y /\ y <R <.u, 0R>.) <-> (x <R y /\ y <R z)))
26		breq2 2618	. . . . . 6 |- (<.u, 0R>. = z -> (x <R <.u, 0R>. <-> x <R z))
27	25, 26	imbi12d 625	. . . . 5 |- (<.u, 0R>. = z -> (((x <R y /\ y <R <.u, 0R>.) -> x <R <.u, 0R>.) <-> ((x <R y /\ y <R z) -> x <R z)))
28	27	anbi2d 615	. . . 4 |- (<.u, 0R>. = z -> (((x <R y <-> -. (x = y \/ y <R x)) /\ ((x <R y /\ y <R <.u, 0R>.) -> x <R <.u, 0R>.)) <-> ((x <R y <-> -. (x = y \/ y <R x)) /\ ((x <R y /\ y <R z) -> x <R z))))
29		ltsosr 5183	. . . . . . . 8 |- <R Or R.
30		sotric 2855	. . . . . . . 8 |- (( <R Or R. /\ (w e. R. /\ v e. R.)) -> (w <R v <-> -. (w = v \/ v <R w)))
31	29, 30	mpan 694	. . . . . . 7 |- ((w e. R. /\ v e. R.) -> (w <R v <-> -. (w = v \/ v <R w)))
32		visset 1809	. . . . . . . 8 |- w e. V
33		visset 1809	. . . . . . . 8 |- v e. V
34	32, 33	ltresr 5238	. . . . . . 7 |- (<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. <-> w <R v)
35	32	eqresr 5235	. . . . . . . . 9 |- (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. <-> w = v)
36	33, 32	ltresr 5238	. . . . . . . . 9 |- (<.v, 0R>. <R <.w, 0R>. <-> v <R w)
37	35, 36	orbi12i 257	. . . . . . . 8 |- ((<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R <.w, 0R>.) <-> (w = v \/ v <R w))
38	37	negbii 187	. . . . . . 7 |- (-. (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R <.w, 0R>.) <-> -. (w = v \/ v <R w))
39	31, 34, 38	3bitr4g 554	. . . . . 6 |- ((w e. R. /\ v e. R.) -> (<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. <-> -. (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R <.w, 0R>.)))
40	39	3adant3 798	. . . . 5 |- ((w e. R. /\ v e. R. /\ u e. R.) -> (<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. <-> -. (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R <.w, 0R>.)))
41		ltrelsr 5160	. . . . . . 7 |- <R (_ (R. X. R.)
42		visset 1809	. . . . . . 7 |- u e. V
43	32, 29, 41, 33, 42	sotri 3435	. . . . . 6 |- ((w <R v /\ v <R u) -> w <R u)
44	33, 42	ltresr 5238	. . . . . . 7 |- (<.v, 0R>. <R <.u, 0R>. <-> v <R u)
45	34, 44	anbi12i 482	. . . . . 6 |- ((<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. <R <.u, 0R>.) <-> (w <R v /\ v <R u))
46	32, 42	ltresr 5238	. . . . . 6 |- (<.w, 0R>. <R <.u, 0R>. <-> w <R u)
47	43, 45, 46	3imtr4 219	. . . . 5 |- ((<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. <R <.u, 0R>.) -> <.w, 0R>. <R <.u, 0R>.)
48	40, 47	jctir 293	. . . 4 |- ((w e. R. /\ v e. R. /\ u e. R.) -> ((<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. <-> -. (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R <.w, 0R>.)) /\ ((<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. <R <.u, 0R>.) -> <.w, 0R>. <R <.u, 0R>.)))
49	1, 2, 3, 13, 23, 28, 48	3gencl 1826	. . 3 |- ((x e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR) -> ((x <R y