MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttri Unicode version

Theorem lttri 9159
Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
lt.3  |-  C  e.  RR
Assertion
Ref Expression
lttri  |-  ( ( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C )

Proof of Theorem lttri
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 lt.2 . 2  |-  B  e.  RR
3 lt.3 . 2  |-  C  e.  RR
4 lttr 9112 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
51, 2, 3, 4mp3an 1279 1  |-  ( ( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721   class class class wbr 4176   RRcr 8949    < clt 9080
This theorem is referenced by:  1lt3  10104  2lt4  10106  1lt4  10107  3lt5  10109  2lt5  10110  1lt5  10111  4lt6  10113  3lt6  10114  2lt6  10115  1lt6  10116  5lt7  10118  4lt7  10119  3lt7  10120  2lt7  10121  1lt7  10122  6lt8  10124  5lt8  10125  4lt8  10126  3lt8  10127  2lt8  10128  1lt8  10129  7lt9  10131  6lt9  10132  5lt9  10133  4lt9  10134  3lt9  10135  2lt9  10136  1lt9  10137  8lt10  10139  7lt10  10140  6lt10  10141  5lt10  10142  4lt10  10143  3lt10  10144  2lt10  10145  1lt10  10146  sincos2sgn  12754  epos  12765  dvdslelem  12853  oppcbas  13903  sralem  16208  zlmlem  16757  tnglem  18638  xrhmph  18929  vitalilem4  19460  pipos  20330  logneg  20439  asin1  20691  reasinsin  20693  atan1  20725  bposlem8  21032  bposlem9  21033  chebbnd1lem2  21121  chebbnd1lem3  21122  chebbnd1  21123  mulog2sumlem2  21186  pntibndlem1  21240  pntlemb  21248  pntlemk  21257  log2le1  24364  axlowdimlem16  25804  fdc  26343  ene1  28249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-resscn 9007  ax-pre-lttrn 9025
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-ltxr 9085
  Copyright terms: Public domain W3C validator