MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttri Unicode version

Theorem lttri 8941
Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
lt.3  |-  C  e.  RR
Assertion
Ref Expression
lttri  |-  ( ( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C )

Proof of Theorem lttri
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 lt.2 . 2  |-  B  e.  RR
3 lt.3 . 2  |-  C  e.  RR
4 lttr 8895 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
51, 2, 3, 4mp3an 1277 1  |-  ( ( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1685   class class class wbr 4024   RRcr 8732    < clt 8863
This theorem is referenced by:  1lt3  9884  2lt4  9886  1lt4  9887  3lt5  9889  2lt5  9890  1lt5  9891  4lt6  9893  3lt6  9894  2lt6  9895  1lt6  9896  5lt7  9898  4lt7  9899  3lt7  9900  2lt7  9901  1lt7  9902  6lt8  9904  5lt8  9905  4lt8  9906  3lt8  9907  2lt8  9908  1lt8  9909  7lt9  9911  6lt9  9912  5lt9  9913  4lt9  9914  3lt9  9915  2lt9  9916  1lt9  9917  8lt10  9919  7lt10  9920  6lt10  9921  5lt10  9922  4lt10  9923  3lt10  9924  2lt10  9925  1lt10  9926  sincos2sgn  12470  epos  12481  dvdslelem  12569  oppcbas  13617  sralem  15926  zlmlem  16467  tnglem  18152  xrhmph  18441  vitalilem4  18962  pipos  19829  logneg  19937  asin1  20186  reasinsin  20188  atan1  20220  bposlem8  20526  bposlem9  20527  chebbnd1lem2  20615  chebbnd1lem3  20616  chebbnd1  20617  mulog2sumlem2  20680  pntibndlem1  20734  pntlemb  20742  pntlemk  20751  axlowdimlem16  23995  fdc  25866
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8790  ax-pre-lttrn 8808
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-ltxr 8868
  Copyright terms: Public domain W3C validator