MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttri Unicode version

Theorem lttri 8878
Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
lt.3  |-  C  e.  RR
Assertion
Ref Expression
lttri  |-  ( ( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C )

Proof of Theorem lttri
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 lt.2 . 2  |-  B  e.  RR
3 lt.3 . 2  |-  C  e.  RR
4 axlttrn 8828 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
51, 2, 3, 4mp3an 1282 1  |-  ( ( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621   class class class wbr 3963   RRcr 8669    < clt 8800
This theorem is referenced by:  1lt3  9820  2lt4  9822  1lt4  9823  3lt5  9825  2lt5  9826  1lt5  9827  4lt6  9829  3lt6  9830  2lt6  9831  1lt6  9832  5lt7  9834  4lt7  9835  3lt7  9836  2lt7  9837  1lt7  9838  6lt8  9840  5lt8  9841  4lt8  9842  3lt8  9843  2lt8  9844  1lt8  9845  7lt9  9847  6lt9  9848  5lt9  9849  4lt9  9850  3lt9  9851  2lt9  9852  1lt9  9853  8lt10  9855  7lt10  9856  6lt10  9857  5lt10  9858  4lt10  9859  3lt10  9860  2lt10  9861  1lt10  9862  sincos2sgn  12401  epos  12412  dvdslelem  12500  oppcbas  13548  sralem  15857  zlmlem  16398  tnglem  18083  xrhmph  18372  vitalilem4  18893  pipos  19760  logneg  19868  asin1  20117  reasinsin  20119  atan1  20151  bposlem8  20457  bposlem9  20458  chebbnd1lem2  20546  chebbnd1lem3  20547  chebbnd1  20548  mulog2sumlem2  20611  pntibndlem1  20665  pntlemb  20673  pntlemk  20682  axlowdimlem16  23925  fdc  25787
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-resscn 8727  ax-pre-lttrn 8745
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-ltxr 8805
  Copyright terms: Public domain W3C validator