MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttri Unicode version

Theorem lttri 8947
Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
lt.3  |-  C  e.  RR
Assertion
Ref Expression
lttri  |-  ( ( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C )

Proof of Theorem lttri
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 lt.2 . 2  |-  B  e.  RR
3 lt.3 . 2  |-  C  e.  RR
4 lttr 8901 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
51, 2, 3, 4mp3an 1277 1  |-  ( ( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1686   class class class wbr 4025   RRcr 8738    < clt 8869
This theorem is referenced by:  1lt3  9890  2lt4  9892  1lt4  9893  3lt5  9895  2lt5  9896  1lt5  9897  4lt6  9899  3lt6  9900  2lt6  9901  1lt6  9902  5lt7  9904  4lt7  9905  3lt7  9906  2lt7  9907  1lt7  9908  6lt8  9910  5lt8  9911  4lt8  9912  3lt8  9913  2lt8  9914  1lt8  9915  7lt9  9917  6lt9  9918  5lt9  9919  4lt9  9920  3lt9  9921  2lt9  9922  1lt9  9923  8lt10  9925  7lt10  9926  6lt10  9927  5lt10  9928  4lt10  9929  3lt10  9930  2lt10  9931  1lt10  9932  sincos2sgn  12476  epos  12487  dvdslelem  12575  oppcbas  13623  sralem  15932  zlmlem  16473  tnglem  18158  xrhmph  18447  vitalilem4  18968  pipos  19835  logneg  19943  asin1  20192  reasinsin  20194  atan1  20226  bposlem8  20532  bposlem9  20533  chebbnd1lem2  20621  chebbnd1lem3  20622  chebbnd1  20623  mulog2sumlem2  20686  pntibndlem1  20740  pntlemb  20748  pntlemk  20757  log2le1  23411  axlowdimlem16  24587  fdc  26466  ene1  28269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-resscn 8796  ax-pre-lttrn 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-ltxr 8874
  Copyright terms: Public domain W3C validator