MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltxrlt Structured version   Unicode version

Theorem ltxrlt 9146
Description: The standard less-than  <RR and the extended real less-than  < are identical when restricted to the non-extended reals  RR. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltxrlt  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  A 
<RR  B ) )

Proof of Theorem ltxrlt
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brun 4258 . . . . 5  |-  ( A ( ( ( RR  u.  {  -oo }
)  X.  {  +oo } )  u.  ( { 
-oo }  X.  RR ) ) B  <->  ( A
( ( RR  u.  { 
-oo } )  X.  {  +oo } ) B  \/  A ( {  -oo }  X.  RR ) B ) )
2 brxp 4909 . . . . . . 7  |-  ( A ( ( RR  u.  { 
-oo } )  X.  {  +oo } ) B  <->  ( A  e.  ( RR  u.  {  -oo } )  /\  B  e.  {  +oo } ) )
3 elsni 3838 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  {  +oo }  ->  B  =  +oo )
4 pnfnre 9127 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  e/  RR
54neli 2697 . . . . . . . . . 10  |-  -.  +oo  e.  RR
6 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
7 eleq1 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  +oo  ->  ( B  e.  RR  <->  +oo  e.  RR ) )
86, 7syl5ib 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  +oo  ->  (
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  +oo  e.  RR ) )
95, 8mtoi 171 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  +oo  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
103, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  {  +oo }  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
1110adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( RR  u.  {  -oo }
)  /\  B  e.  { 
+oo } )  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
122, 11sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( A ( ( RR  u.  { 
-oo } )  X.  {  +oo } ) B  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
13 brxp 4909 . . . . . . 7  |-  ( A ( {  -oo }  X.  RR ) B  <->  ( A  e.  {  -oo }  /\  B  e.  RR )
)
14 elsni 3838 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  {  -oo }  ->  A  =  -oo )
15 mnfnre 9128 . . . . . . . . . . 11  |-  -oo  e/  RR
1615neli 2697 . . . . . . . . . 10  |-  -.  -oo  e.  RR
17 simpl 444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
18 eleq1 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  -oo  ->  ( A  e.  RR  <->  -oo  e.  RR ) )
1917, 18syl5ib 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  -oo  ->  (
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  -oo  e.  RR ) )
2016, 19mtoi 171 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  -oo  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2114, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  {  -oo }  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2221adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  {  -oo }  /\  B  e.  RR )  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2313, 22sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( A ( {  -oo }  X.  RR ) B  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2412, 23jaoi 369 . . . . 5  |-  ( ( A ( ( RR  u.  {  -oo }
)  X.  {  +oo } ) B  \/  A
( {  -oo }  X.  RR ) B )  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
251, 24sylbi 188 . . . 4  |-  ( A ( ( ( RR  u.  {  -oo }
)  X.  {  +oo } )  u.  ( { 
-oo }  X.  RR ) ) B  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2625con2i 114 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  -.  A ( ( ( RR  u.  {  -oo } )  X.  {  +oo } )  u.  ( {  -oo }  X.  RR ) ) B )
27 biimt 326 . . . 4  |-  ( -.  A ( ( ( RR  u.  {  -oo } )  X.  {  +oo } )  u.  ( { 
-oo }  X.  RR ) ) B  -> 
( A { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B  <->  ( -.  A ( ( ( RR  u.  {  -oo } )  X.  {  +oo } )  u.  ( {  -oo }  X.  RR ) ) B  ->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) ) )
28 df-ltxr 9125 . . . . . . 7  |-  <  =  ( { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) }  u.  (
( ( RR  u.  { 
-oo } )  X.  {  +oo } )  u.  ( {  -oo }  X.  RR ) ) )
2928equncomi 3493 . . . . . 6  |-  <  =  ( ( ( ( RR  u.  {  -oo } )  X.  {  +oo } )  u.  ( { 
-oo }  X.  RR ) )  u.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } )
3029breqi 4218 . . . . 5  |-  ( A  <  B  <->  A (
( ( ( RR  u.  {  -oo }
)  X.  {  +oo } )  u.  ( { 
-oo }  X.  RR ) )  u.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } ) B )
31 brun 4258 . . . . 5  |-  ( A ( ( ( ( RR  u.  {  -oo } )  X.  {  +oo } )  u.  ( { 
-oo }  X.  RR ) )  u.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } ) B  <-> 
( A ( ( ( RR  u.  {  -oo } )  X.  {  +oo } )  u.  ( {  -oo }  X.  RR ) ) B  \/  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
32 df-or 360 . . . . 5  |-  ( ( A ( ( ( RR  u.  {  -oo } )  X.  {  +oo } )  u.  ( { 
-oo }  X.  RR ) ) B  \/  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B )  <-> 
( -.  A ( ( ( RR  u.  { 
-oo } )  X.  {  +oo } )  u.  ( {  -oo }  X.  RR ) ) B  ->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
3330, 31, 323bitri 263 . . . 4  |-  ( A  <  B  <->  ( -.  A ( ( ( RR  u.  {  -oo } )  X.  {  +oo } )  u.  ( { 
-oo }  X.  RR ) ) B  ->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
3427, 33syl6rbbr 256 . . 3  |-  ( -.  A ( ( ( RR  u.  {  -oo } )  X.  {  +oo } )  u.  ( { 
-oo }  X.  RR ) ) B  -> 
( A  <  B  <->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
3526, 34syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
36 breq12 4217 . . . 4  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( x  <RR  y  <->  A  <RR  B ) )
37 df-3an 938 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  x  <RR  y ) )
3837opabbii 4272 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  x  <RR  y ) }
3936, 38brab2ga 4951 . . 3  |-  ( A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B  <->  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <RR  B ) )
4039baibr 873 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  <->  A { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
4135, 40bitr4d 248 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  A 
<RR  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3318   {csn 3814   class class class wbr 4212   {copab 4265    X. cxp 4876   RRcr 8989    <RR cltrr 8994    +oocpnf 9117    -oocmnf 9118    < clt 9120
This theorem is referenced by:  axlttri  9147  axlttrn  9148  axltadd  9149  axmulgt0  9150  axsup  9151
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-ltxr 9125
  Copyright terms: Public domain W3C validator