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Theorem lubval 14436
Description: Value of the least upper bound of a poset. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lubval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lubval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lubval.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
Assertion
Ref Expression
lubval  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B )  -> 
( U `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, B    x, y, K, z   
x, S, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)    B( y)    U( x, y, z)    .<_ ( x, y, z)

Proof of Theorem lubval
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 lubval.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 lubval.u . . . 4  |-  U  =  ( lub `  K
)
41, 2, 3lubfval 14435 . . 3  |-  ( K  e.  A  ->  U  =  ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) ) )
54fveq1d 5730 . 2  |-  ( K  e.  A  ->  ( U `  S )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B
( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) ) `  S ) )
6 fvex 5742 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  e.  _V
71, 6eqeltri 2506 . . . 4  |-  B  e. 
_V
87elpw2 4364 . . 3  |-  ( S  e.  ~P B  <->  S  C_  B
)
9 raleq 2904 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  s 
y  .<_  x  <->  A. y  e.  S  y  .<_  x ) )
10 raleq 2904 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  s 
y  .<_  z  <->  A. y  e.  S  y  .<_  z ) )
1110imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
1211ralbidv 2725 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
139, 12anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
1413riotabidv 6551 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) )  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
15 eqid 2436 . . . 4  |-  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B
( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )  =  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B
( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )
16 riotaex 6553 . . . 4  |-  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  e. 
_V
1714, 15, 16fvmpt 5806 . . 3  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) ) `
 S )  =  ( iota_ x  e.  B
( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
188, 17sylbir 205 . 2  |-  ( S 
C_  B  ->  (
( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) ) `  S )  =  (
iota_ x  e.  B
( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
195, 18sylan9eq 2488 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B )  -> 
( U `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ` cfv 5454   iota_crio 6542   Basecbs 13469   lecple 13536   lubclub 14399
This theorem is referenced by:  lubprop  14437  lubid  14439  joinval2  14446  lubun  14550  poslubd  14574  toslub  24191  lubunNEW  29771  lub0N  29987  glbconN  30174
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-riota 6549  df-lub 14431
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