Theorem m1r 5171

Description: The constant -1R is a signed real.

Assertion

Ref	Expression
m1r	|- -1R e. R.

Proof of Theorem m1r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 5097	. . . 4 |- 1P e. P.
2		addclpr 5100	. . . . 5 |- ((1P e. P. /\ 1P e. P.) -> (1P +P. 1P) e. P.)
3	1, 1, 2	mp2an 696	. . . 4 |- (1P +P. 1P) e. P.
4		opelxpi 3212	. . . 4 |- ((1P e. P. /\ (1P +P. 1P) e. P.) -> <.1P, (1P +P. 1P)>. e. (P. X. P.))
5	1, 3, 4	mp2an 696	. . 3 |- <.1P, (1P +P. 1P)>. e. (P. X. P.)
6		enrex 5158	. . . 4 |- ~R e. V
7	6	ecelqsi 4282	. . 3 |- (<.1P, (1P +P. 1P)>. e. (P. X. P.) -> [<.1P, (1P +P. 1P)>.] ~R e. ((P. X. P.)/. ~R ))
8	5, 7	ax-mp 7	. 2 |- [<.1P, (1P +P. 1P)>.] ~R e. ((P. X. P.)/. ~R )
9		df-m1r 5153	. . 3 |- -1R = [<.1P, (1P +P. 1P)>.] ~R
10		df-nr 5147	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
11	9, 10	eleq12i 1536	. 2 |- (-1R e. R. <-> [<.1P, (1P +P. 1P)>.] ~R e. ((P. X. P.)/. ~R ))
12	8, 11	mpbir 190	1 |- -1R e. R.

Syntax hints:   e. wcel 956  <.cop 2407   X. cxp 3163  (class class class)co 3954  [cec 4249  /.cqs 4250  P.cnp 4965  1Pc1p 4966   +P. cpp 4967   ~R cer 4972  R.cnr 4973  -1Rcm1r 4976

This theorem is referenced by:  pn0sr 5190  negexsr 5191  sqgt0sr 5195  supsrlem1 5205  supsrlem2 5206  supsrlem3 5207  supsrlem5 5209  mulresr 5237  axmulopr 5246  axmulass 5258  axdistr 5259  ax1id 5262  axi2m1 5265  axcnre 5266

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-enr 5146  df-nr 5147  df-m1r 5153

Copyright terms: Public domain