MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  map1 Unicode version

Theorem map1 6907
Description: Set exponentiation: ordinal 1 to any set is equinumerous to ordinal 1. Exercise 4.42(b) of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 17-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
map1  |-  ( A  e.  V  ->  ( 1o  ^m  A )  ~~  1o )

Proof of Theorem map1
StepHypRef Expression
1 ovex 5817 . . 3  |-  ( 1o 
^m  A )  e. 
_V
21a1i 12 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( 1o  ^m  A )  e. 
_V )
3 df1o2 6459 . . . 4  |-  1o  =  { (/) }
4 p0ex 4169 . . . 4  |-  { (/) }  e.  _V
53, 4eqeltri 2328 . . 3  |-  1o  e.  _V
65a1i 12 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  1o  e.  _V )
7 0ex 4124 . . 3  |-  (/)  e.  _V
87a1ii 26 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( 1o 
^m  A )  ->  (/) 
e.  _V ) )
9 xpexg 4788 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  {
(/) }  e.  _V )  ->  ( A  X.  { (/) } )  e. 
_V )
104, 9mpan2 655 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  X.  { (/) } )  e.  _V )
1110a1d 24 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
y  e.  1o  ->  ( A  X.  { (/) } )  e.  _V )
)
12 el1o 6466 . . . . 5  |-  ( y  e.  1o  <->  y  =  (/) )
1312a1i 12 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
y  e.  1o  <->  y  =  (/) ) )
143oveq1i 5802 . . . . . . 7  |-  ( 1o 
^m  A )  =  ( { (/) }  ^m  A )
1514eleq2i 2322 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1o  ^m  A )  <->  x  e.  ( { (/) }  ^m  A
) )
16 elmapg 6753 . . . . . . 7  |-  ( ( { (/) }  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( x  e.  ( { (/) }  ^m  A )  <->  x : A
--> { (/) } ) )
174, 16mpan 654 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( {
(/) }  ^m  A )  <-> 
x : A --> { (/) } ) )
1815, 17syl5bb 250 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( 1o 
^m  A )  <->  x : A
--> { (/) } ) )
197fconst2 5664 . . . . 5  |-  ( x : A --> { (/) }  <-> 
x  =  ( A  X.  { (/) } ) )
2018, 19syl6rbb 255 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  =  ( A  X.  { (/) } )  <-> 
x  e.  ( 1o 
^m  A ) ) )
2113, 20anbi12d 694 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( y  e.  1o  /\  x  =  ( A  X.  { (/) } ) )  <->  ( y  =  (/)  /\  x  e.  ( 1o  ^m  A ) ) ) )
22 ancom 439 . . 3  |-  ( ( y  =  (/)  /\  x  e.  ( 1o  ^m  A
) )  <->  ( x  e.  ( 1o  ^m  A
)  /\  y  =  (/) ) )
2321, 22syl6rbb 255 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 1o  ^m  A )  /\  y  =  (/) ) 
<->  ( y  e.  1o  /\  x  =  ( A  X.  { (/) } ) ) ) )
242, 6, 8, 11, 23en2d 6865 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( 1o  ^m  A )  ~~  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2763   (/)c0 3430   {csn 3614   class class class wbr 3997    X. cxp 4659   -->wf 4669  (class class class)co 5792   1oc1o 6440    ^m cmap 6740    ~~ cen 6828
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-suc 4370  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1o 6447  df-map 6742  df-en 6832
  Copyright terms: Public domain W3C validator