Theorem mapcdaen 4912

Description: Sum of exponents law for cardinal arithmetic. Theorem 6I(4) of [Enderton] p. 142.

Hypotheses

Ref	Expression
cdacomen.1	|- A e. V
cdacomen.2	|- B e. V
cdaassen.3	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
mapcdaen	|- (A ^m (B +c C)) ~~ ((A ^m B) X. (A ^m C))

Proof of Theorem mapcdaen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdacomen.2	. . . 4 |- B e. V
2		cdaassen.3	. . . 4 |- C e. V
3	1, 2	cdaval 4900	. . 3 |- (B +c C) = ((B X. {(/)}) u. (C X. {1o}))
4	3	opreq2i 3963	. 2 |- (A ^m (B +c C)) = (A ^m ((B X. {(/)}) u. (C X. {1o})))
5		xp01disj 4133	. . . 4 |- ((B X. {(/)}) i^i (C X. {1o})) = (/)
6		p0ex 2765	. . . . . 6 |- {(/)} e. V
7	1, 6	xpex 3255	. . . . 5 |- (B X. {(/)}) e. V
8		snex 2745	. . . . . 6 |- {1o} e. V
9	2, 8	xpex 3255	. . . . 5 |- (C X. {1o}) e. V
10		cdacomen.1	. . . . 5 |- A e. V
11	7, 9, 10	mapunen 4488	. . . 4 |- (((B X. {(/)}) i^i (C X. {1o})) = (/) -> (A ^m ((B X. {(/)}) u. (C X. {1o}))) ~~ ((A ^m (B X. {(/)})) X. (A ^m (C X. {1o}))))
12	5, 11	ax-mp 7	. . 3 |- (A ^m ((B X. {(/)}) u. (C X. {1o}))) ~~ ((A ^m (B X. {(/)})) X. (A ^m (C X. {1o})))
13	10	enref 4378	. . . . 5 |- A ~~ A
14		0ex 2706	. . . . . 6 |- (/) e. V
15	1, 14	xpsnen 4421	. . . . 5 |- (B X. {(/)}) ~~ B
16	10, 10, 7, 1	mapen 4477	. . . . 5 |- ((A ~~ A /\ (B X. {(/)}) ~~ B) -> (A ^m (B X. {(/)})) ~~ (A ^m B))
17	13, 15, 16	mp2an 696	. . . 4 |- (A ^m (B X. {(/)})) ~~ (A ^m B)
18		1on 4128	. . . . . . 7 |- 1o e. On
19	18	elisseti 1814	. . . . . 6 |- 1o e. V
20	2, 19	xpsnen 4421	. . . . 5 |- (C X. {1o}) ~~ C
21	10, 10, 9, 2	mapen 4477	. . . . 5 |- ((A ~~ A /\ (C X. {1o}) ~~ C) -> (A ^m (C X. {1o})) ~~ (A ^m C))
22	13, 20, 21	mp2an 696	. . . 4 |- (A ^m (C X. {1o})) ~~ (A ^m C)
23		oprex 3974	. . . . 5 |- (A ^m (B X. {(/)})) e. V
24		oprex 3974	. . . . 5 |- (A ^m B) e. V
25		oprex 3974	. . . . 5 |- (A ^m (C X. {1o})) e. V
26		oprex 3974	. . . . 5 |- (A ^m C) e. V
27	23, 24, 25, 26	xpen 4474	. . . 4 |- (((A ^m (B X. {(/)})) ~~ (A ^m B) /\ (A ^m (C X. {1o})) ~~ (A ^m C)) -> ((A ^m (B X. {(/)})) X. (A ^m (C X. {1o}))) ~~ ((A ^m B) X. (A ^m C)))
28	17, 22, 27	mp2an 696	. . 3 |- ((A ^m (B X. {(/)})) X. (A ^m (C X. {1o}))) ~~ ((A ^m B) X. (A ^m C))
29	12, 28	entr 4403	. 2 |- (A ^m ((B X. {(/)}) u. (C X. {1o}))) ~~ ((A ^m B) X. (A ^m C))
30	4, 29	eqbrtr 2629	1 |- (A ^m (B +c C)) ~~ ((A ^m B) X. (A ^m C))

Syntax hints:   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807   u. cun 2041   i^i cin 2042  (/)c0 2276  {csn 2405   class class class wbr 2614  Oncon0 2943   X. cxp 3163  (class class class)co 3954  1oc1o 4118   ^m cm 4312   ~~ cen 4354   +c ccda 4897

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-suc 2949  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1o 4123  df-er 4251  df-map 4314  df-en 4357  df-dom 4358  df-cda 4898

Copyright terms: Public domain