Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapd0 Unicode version

Theorem mapd0 32477
 Description: Projectivity map of the zero subspace. Part of property (f) in [Baer] p. 40. TODO: does proof need to be this long for this simple fact? (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapd0.h
mapd0.m mapd
mapd0.u
mapd0.o
mapd0.c LCDual
mapd0.z
mapd0.k
Assertion
Ref Expression
mapd0

Proof of Theorem mapd0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapd0.h . . 3
2 mapd0.u . . 3
3 eqid 2296 . . 3
4 eqid 2296 . . 3 LFnl LFnl
5 eqid 2296 . . 3 LKer LKer
6 eqid 2296 . . 3
7 mapd0.m . . 3 mapd
8 mapd0.k . . 3
91, 2, 8dvhlmod 31922 . . . 4
10 mapd0.o . . . . 5
1110, 3lsssn0 15721 . . . 4
129, 11syl 15 . . 3
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12mapdval 32440 . 2 LFnl LKer LKer LKer
14 simprrr 741 . . . . . . . . . . 11 LFnl LKer LKer LKer LKer
159adantr 451 . . . . . . . . . . . 12 LFnl LKer LKer LKer
168adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13 LFnl LKer LKer LKer
17 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14
18 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14 LFnl LKer LKer LKer LFnl
1917, 4, 5, 15, 18lkrssv 29908 . . . . . . . . . . . . 13 LFnl LKer LKer LKer LKer
201, 2, 17, 3, 6dochlss 32166 . . . . . . . . . . . . 13 LKer LKer
2116, 19, 20syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 LFnl LKer LKer LKer LKer
2210, 3lssle0 15723 . . . . . . . . . . . 12 LKer LKer LKer
2315, 21, 22syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 LFnl LKer LKer LKer LKer LKer
2414, 23mpbid 201 . . . . . . . . . 10 LFnl LKer LKer LKer LKer
2524fveq2d 5545 . . . . . . . . 9 LFnl LKer LKer LKer LKer
26 simprrl 740 . . . . . . . . 9 LFnl LKer LKer LKer LKer LKer
271, 2, 6, 17, 10doch0 32170 . . . . . . . . . . 11
288, 27syl 15 . . . . . . . . . 10
2928adantr 451 . . . . . . . . 9 LFnl LKer LKer LKer
3025, 26, 293eqtr3d 2336 . . . . . . . 8 LFnl LKer LKer LKer LKer
31 eqid 2296 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
32 eqid 2296 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
3331, 32, 17, 4, 5lkr0f 29906 . . . . . . . . 9 LFnl LKer Scalar
3415, 18, 33syl2anc 642 . . . . . . . 8 LFnl LKer LKer LKer LKer Scalar
3530, 34mpbid 201 . . . . . . 7 LFnl LKer LKer LKer Scalar
36 mapd0.c . . . . . . . . 9 LCDual
37 mapd0.z . . . . . . . . 9
381, 2, 17, 31, 32, 36, 37, 8lcd0v 32423 . . . . . . . 8 Scalar
3938adantr 451 . . . . . . 7 LFnl LKer LKer LKer Scalar
4035, 39eqtr4d 2331 . . . . . 6 LFnl LKer LKer LKer
4140ex 423 . . . . 5 LFnl LKer LKer LKer
42 eqid 2296 . . . . . . . 8
431, 36, 42, 37, 8lcd0vcl 32426 . . . . . . . 8
441, 36, 42, 2, 4, 8, 43lcdvbaselfl 32407 . . . . . . 7 LFnl
4531, 32, 17, 4, 5lkr0f 29906 . . . . . . . . . . . . 13 LFnl LKer Scalar
469, 44, 45syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 LKer Scalar
4738, 46mpbird 223 . . . . . . . . . . 11 LKer
4847fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10 LKer
4948fveq2d 5545 . . . . . . . . 9 LKer
501, 2, 6, 17, 8dochoc1 32173 . . . . . . . . 9
5149, 50eqtrd 2328 . . . . . . . 8 LKer
5251, 47eqtr4d 2331 . . . . . . 7 LKer LKer
531, 2, 6, 17, 10doch1 32171 . . . . . . . . . 10
548, 53syl 15 . . . . . . . . 9
5548, 54eqtrd 2328 . . . . . . . 8 LKer
56 eqimss 3243 . . . . . . . 8 LKer LKer
5755, 56syl 15 . . . . . . 7 LKer
5844, 52, 57jca32 521 . . . . . 6 LFnl LKer LKer LKer
59 eleq1 2356 . . . . . . 7 LFnl LFnl
60 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11 LKer LKer
6160fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10 LKer LKer
6261fveq2d 5545 . . . . . . . . 9 LKer LKer
6362, 60eqeq12d 2310 . . . . . . . 8 LKer LKer LKer LKer
6461sseq1d 3218 . . . . . . . 8 LKer LKer
6563, 64anbi12d 691 . . . . . . 7 LKer LKer LKer LKer LKer LKer
6659, 65anbi12d 691 . . . . . 6 LFnl LKer LKer LKer LFnl LKer LKer LKer
6758, 66syl5ibrcom 213 . . . . 5 LFnl LKer LKer LKer
6841, 67impbid 183 . . . 4 LFnl LKer LKer LKer
69 fveq2 5541 . . . . . . . . 9 LKer LKer
7069fveq2d 5545 . . . . . . . 8 LKer LKer
7170fveq2d 5545 . . . . . . 7 LKer LKer
7271, 69eqeq12d 2310 . . . . . 6 LKer LKer LKer LKer
7370sseq1d 3218 . . . . . 6 LKer LKer
7472, 73anbi12d 691 . . . . 5 LKer LKer LKer LKer LKer LKer
7574elrab 2936 . . . 4 LFnl LKer LKer LKer LFnl LKer LKer LKer
76 elsn 3668 . . . 4
7768, 75, 763bitr4g 279 . . 3 LFnl LKer LKer LKer
7877eqrdv 2294 . 2 LFnl LKer LKer LKer
7913, 78eqtrd 2328 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  crab 2560   wss 3165  csn 3653   cxp 4703  cfv 5271  cbs 13164  Scalarcsca 13227  c0g 13416  clmod 15643  clss 15705  LFnlclfn 29869  LKerclk 29897  chlt 30162  clh 30795  cdvh 31890  coch 32159  LCDualclcd 32398  mapdcmpd 32436 This theorem is referenced by:  mapdcnvatN  32478  mapdat  32479  mapdspex  32480  mapdn0  32481  hdmap10  32655  hdmapeq0  32659 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-undef 6314  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-0g 13420  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-oppg 14835  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lvec 15872  df-lsatoms 29788  df-lshyp 29789  df-lcv 29831  df-lfl 29870  df-lkr 29898  df-ldual 29936  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970  df-tgrp 31554  df-tendo 31566  df-edring 31568  df-dveca 31814  df-disoa 31841  df-dvech 31891  df-dib 31951  df-dic 31985  df-dih 32041  df-doch 32160  df-djh 32207  df-lcdual 32399  df-mapd 32437
 Copyright terms: Public domain W3C validator