Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6hN Unicode version

Theorem mapdh6hN 32272
Description: Lemmma for mapdh6N 32276. Part (6) of [Baer] p. 48 line 2. (Contributed by NM, 1-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdhc.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdhc.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdhcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
mapdh.a  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
mapdh6d.xn  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
mapdh6d.yz  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
mapdh6d.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh6d.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh6d.w  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh6d.wn  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdh6hN  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z )
>. )  =  (
( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
Distinct variable groups:    x, D, h    h, F, x    x, J    x, M    x, N    x,  .0.    x, Q    x, R    x, 
.-    h, X, x    h, Y, x    ph, h    .0. , h    C, h    D, h   
h, J    h, M    h, N    R, h    U, h    .- , h    w, h    h, Z, x    .+b , h    h, I, x    .+ , h, x   
x, w
Allowed substitution hints:    ph( x, w)    C( x, w)    D( w)    .+ ( w)    .+b ( x, w)    Q( w, h)    R( w)    U( x, w)    F( w)    H( x, w, h)    I( w)    J( w)    K( x, w, h)    M( w)    .- ( w)    N( w)    V( x, w, h)    W( x, w, h)    X( w)    Y( w)    .0. ( w)    Z( w)

Proof of Theorem mapdh6hN
StepHypRef Expression
1 mapdh.q . . . 4  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
2 mapdh.i . . . 4  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
3 mapdh.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 mapdh.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
5 mapdh.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 mapdh.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
7 mapdh.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
8 mapdhc.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
9 mapdh.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
10 mapdh.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
11 mapdh.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  C
)
12 mapdh.r . . . 4  |-  R  =  ( -g `  C
)
13 mapdh.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
14 mapdh.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15 mapdhc.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
16 mapdh.mn . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
17 mapdhcl.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
18 mapdh.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  U )
19 mapdh.a . . . 4  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
20 mapdh6d.xn . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
21 mapdh6d.yz . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
22 mapdh6d.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
23 mapdh6d.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
24 mapdh6d.w . . . 4  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
25 mapdh6d.wn . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25mapdh6gN 32271 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z ) >. )
)  =  ( ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
273, 10, 14lcdlmod 32121 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
2824eldifad 3319 . . . . 5  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
293, 5, 14dvhlvec 31638 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
3017eldifad 3319 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3122eldifad 3319 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
326, 9, 29, 28, 30, 31, 25lspindpi 16187 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
3332simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } ) )
3433necomd 2676 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { w } ) )
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 28, 34mapdhcl 32256 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  e.  D )
3623eldifad 3319 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
376, 9, 29, 30, 31, 36, 20lspindpi 16187 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
3837simpld 446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
391, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 31, 38mapdhcl 32256 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  e.  D )
4037simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
411, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 36, 40mapdhcl 32256 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  e.  D )
4211, 19lmodass 15948 . . . 4  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  (
( I `  <. X ,  F ,  w >. )  e.  D  /\  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  e.  D  /\  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  e.  D ) )  ->  ( (
( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  ( (
I `  <. X ,  F ,  Y >. ) 
.+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) )
4327, 35, 39, 41, 42syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 <. X ,  F ,  w >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Y >. ) )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  (
( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) )
4426, 43eqtrd 2462 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z ) >. )
)  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) 
.+b  ( ( I `
 <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) )
453, 5, 14dvhlmod 31639 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
466, 18lmodvacl 15947 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
4745, 31, 36, 46syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
486, 18, 8, 9, 29, 17, 22, 23, 24, 21, 38, 25mapdindp1 32249 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )
491, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 47, 48mapdhcl 32256 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z )
>. )  e.  D
)
5011, 19lmodvacl 15947 . . . 4  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  (
I `  <. X ,  F ,  Y >. )  e.  D  /\  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. )  e.  D )  -> 
( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  e.  D )
5127, 39, 41, 50syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  e.  D )
5211, 19lmodlcan 15949 . . 3  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  (
( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z )
>. )  e.  D  /\  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  e.  D  /\  ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  e.  D ) )  ->  ( (
( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z ) >. )
)  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) 
.+b  ( ( I `
 <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )  <->  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z ) >. )  =  ( ( I `
 <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) )
5327, 49, 51, 35, 52syl13anc 1186 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 <. X ,  F ,  w >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z ) >. )
)  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) 
.+b  ( ( I `
 <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )  <->  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z ) >. )  =  ( ( I `
 <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) )
5444, 53mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z )
>. )  =  (
( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2593   _Vcvv 2943    \ cdif 3304   ifcif 3726   {csn 3801   {cpr 3802   <.cotp 3805    e. cmpt 4253   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   1stc1st 6333   2ndc2nd 6334   iota_crio 6528   Basecbs 13452   +g cplusg 13512   0gc0g 13706   -gcsg 14671   LModclmod 15933   LSpanclspn 16030   HLchlt 29879   LHypclh 30512   DVecHcdvh 31607  LCDualclcd 32115  mapdcmpd 32153
This theorem is referenced by:  mapdh6iN  32273
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-ot 3811  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-iin 4083  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-of 6291  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-tpos 6465  df-undef 6529  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-1o 6710  df-oadd 6714  df-er 6891  df-map 7006  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-fin 7099  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-4 10044  df-5 10045  df-6 10046  df-n0 10206  df-z 10267  df-uz 10473  df-fz 11028  df-struct 13454  df-ndx 13455  df-slot 13456  df-base 13457  df-sets 13458  df-ress 13459  df-plusg 13525  df-mulr 13526  df-sca 13528  df-vsca 13529  df-0g 13710  df-mre 13794  df-mrc 13795  df-acs 13797  df-poset 14386  df-plt 14398  df-lub 14414  df-glb 14415  df-join 14416  df-meet 14417  df-p0 14451  df-p1 14452  df-lat 14458  df-clat 14520  df-mnd 14673  df-submnd 14722  df-grp 14795  df-minusg 14796  df-sbg 14797  df-subg 14924  df-cntz 15099  df-oppg 15125  df-lsm 15253  df-cmn 15397  df-abl 15398  df-mgp 15632  df-rng 15646  df-ur 15648  df-oppr 15711  df-dvdsr 15729  df-unit 15730  df-invr 15760  df-dvr 15771  df-drng 15820  df-lmod 15935  df-lss 15992  df-lsp 16031  df-lvec 16158  df-lsatoms 29505  df-lshyp 29506  df-lcv 29548  df-lfl 29587  df-lkr 29615  df-ldual 29653  df-oposet 29705  df-ol 29707  df-oml 29708  df-covers 29795  df-ats 29796  df-atl 29827  df-cvlat 29851  df-hlat 29880  df-llines 30026  df-lplanes 30027  df-lvols 30028  df-lines 30029  df-psubsp 30031  df-pmap 30032  df-padd 30324  df-lhyp 30516  df-laut 30517  df-ldil 30632  df-ltrn 30633  df-trl 30687  df-tgrp 31271  df-tendo 31283  df-edring 31285  df-dveca 31531  df-disoa 31558  df-dvech 31608  df-dib 31668  df-dic 31702  df-dih 31758  df-doch 31877  df-djh 31924  df-lcdual 32116  df-mapd 32154
  Copyright terms: Public domain W3C validator