Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8ad Unicode version

Theorem mapdh8ad 31236
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh8a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh8a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh8a.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh8a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh8a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh8a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh8a.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh8a.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh8a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh8a.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh8a.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh8a.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh8a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh8ac.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh8ac.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh8ac.eg  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
mapdh8ac.ee  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  E )
mapdh8ac.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8ac.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8ac.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8ac.t  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8ac.yn  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { T } ) )
mapdh8ad.xy  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdh8ad.xz  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdh8ad  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. Z ,  E ,  T >. ) )
Distinct variable groups:    x, h,  .-    .0. , h, x    C, h    D, h, x    h, F, x    h, I    h, G, x    h, J, x   
h, M, x    h, N, x    ph, h    R, h, x    x, Q    T, h, x    U, h    h, X, x    h, Y, x   
h, E, x    h, Z, x    x, I    h, V
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x)    Q( h)    U( x)    H( x, h)    K( x, h)    V( x)    W( x, h)

Proof of Theorem mapdh8ad
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdh8a.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdh8a.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 mapdh8a.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
5 mapdh8a.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 mapdh8ac.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
7 eldifi 3299 . . . 4  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  e.  V )
86, 7syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
9 mapdh8ac.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
10 eldifi 3299 . . . 4  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  e.  V )
119, 10syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
12 mapdh8ac.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
13 eldifi 3299 . . . 4  |-  ( Z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Z  e.  V )
1412, 13syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
151, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 14dvh3dim2 30905 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  V  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )
16 mapdh8a.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
17 mapdh8a.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
18 mapdh8a.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
19 mapdh8a.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  C
)
20 mapdh8a.r . . . 4  |-  R  =  ( -g `  C
)
21 mapdh8a.q . . . 4  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
22 mapdh8a.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
23 mapdh8a.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
24 mapdh8a.i . . . 4  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
2553ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
26 mapdh8ac.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
27263ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  F  e.  D )
28 mapdh8ac.mn . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
29283ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
30 mapdh8ac.eg . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
31303ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
32 mapdh8ac.ee . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  E )
33323ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  E )
3463ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
3593ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
36123ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  Z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
37 mapdh8ac.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
38373ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  T  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
39 mapdh8ac.yn . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { T } ) )
40393ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( N `  { X } )  =  ( N `  { T } ) )
41 eqidd 2285 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( I `  <. X ,  F ,  w >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) )
42 eqid 2284 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
431, 2, 5dvhlmod 30567 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
44433ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  U  e.  LMod )
453, 42, 4, 43, 8, 11lspprcl 15729 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
46453ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
47 simp2 958 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  w  e.  V )
48 simp3l 985 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
493, 17, 42, 44, 46, 47, 48lssneln0 15703 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  w  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
501, 2, 5dvhlvec 30566 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
51503ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  U  e.  LVec )
5283ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  X  e.  V )
53113ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  Y  e.  V )
543, 4, 51, 47, 52, 53, 48lspindpi 15879 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
5554simprd 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
5655necomd 2530 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } ) )
57 simpl1 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  w }
) )  ->  ph )
5857, 50syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  w }
) )  ->  U  e.  LVec )
5957, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  w }
) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
60 simpl2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  w }
) )  ->  w  e.  V )
6157, 11syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  w }
) )  ->  Y  e.  V )
62 mapdh8ad.xy . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
6357, 62syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  w }
) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
64 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  w }
) )  ->  X  e.  ( N `  { Y ,  w }
) )
65 prcom 3706 . . . . . . . 8  |-  { Y ,  w }  =  {
w ,  Y }
6665fveq2i 5488 . . . . . . 7  |-  ( N `
 { Y ,  w } )  =  ( N `  { w ,  Y } )
6764, 66syl6eleq 2374 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  w }
) )  ->  X  e.  ( N `  {
w ,  Y }
) )
683, 17, 4, 58, 59, 60, 61, 63, 67lspexch 15876 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  w }
) )  ->  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
6948, 68mtand 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) )
70143ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  Z  e.  V )
71 simp3r 986 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )
723, 4, 51, 47, 52, 70, 71lspindpi 15879 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
7372simprd 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
74 simpl1 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  {
w ,  Z }
) )  ->  ph )
7574, 50syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  {
w ,  Z }
) )  ->  U  e.  LVec )
7674, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  {
w ,  Z }
) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
77 simpl2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  {
w ,  Z }
) )  ->  w  e.  V )
7874, 14syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  {
w ,  Z }
) )  ->  Z  e.  V )
79 mapdh8ad.xz . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
8074, 79syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  {
w ,  Z }
) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
81 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  {
w ,  Z }
) )  ->  X  e.  ( N `  {
w ,  Z }
) )
823, 17, 4, 75, 76, 77, 78, 80, 81lspexch 15876 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  {
w ,  Z }
) )  ->  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )
8371, 82mtand 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { w ,  Z } ) )
841, 2, 3, 16, 17, 4, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 29, 31, 33, 34, 35, 36, 38, 40, 41, 49, 56, 69, 73, 83mapdh8ac 31235 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. Z ,  E ,  T >. ) )
8584rexlimdv3a 2670 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  V  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )  ->  (
I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `  <. Z ,  E ,  T >. ) ) )
8615, 85mpd 16 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. Z ,  E ,  T >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2447   E.wrex 2545   _Vcvv 2789    \ cdif 3150   ifcif 3566   {csn 3641   {cpr 3642   <.cotp 3645    e. cmpt 4078   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   1stc1st 6081   2ndc2nd 6082   iota_crio 6290   Basecbs 13142   0gc0g 13394   -gcsg 14359   LModclmod 15621   LSubSpclss 15683   LSpanclspn 15722   LVecclvec 15849   HLchlt 28807   LHypclh 29440   DVecHcdvh 30535  LCDualclcd 31043  mapdcmpd 31081
This theorem is referenced by:  mapdh8j  31245
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-fal 1313  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-ot 3651  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-tpos 6195  df-iota 6252  df-undef 6291  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-fz 10777  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-0g 13398  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-poset 14074  df-plt 14086  df-lub 14102  df-glb 14103  df-join 14104  df-meet 14105  df-p0 14139  df-p1 14140  df-lat 14146  df-clat 14208  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-grp 14483  df-minusg 14484  df-sbg 14485  df-subg 14612  df-cntz 14787  df-oppg 14813  df-lsm 14941  df-cmn 15085  df-abl 15086  df-mgp 15320  df-rng 15334  df-ur 15336  df-oppr 15399  df-dvdsr 15417  df-unit 15418  df-invr 15448  df-dvr 15459  df-drng 15508  df-lmod 15623  df-lss 15684  df-lsp 15723  df-lvec 15850  df-lsatoms 28433  df-lshyp 28434  df-lcv 28476  df-lfl 28515  df-lkr 28543  df-ldual 28581  df-oposet 28633  df-ol 28635  df-oml 28636  df-covers 28723  df-ats 28724  df-atl 28755  df-cvlat 28779  df-hlat 28808  df-llines 28954  df-lplanes 28955  df-lvols 28956  df-lines 28957  df-psubsp 28959  df-pmap 28960  df-padd 29252  df-lhyp 29444  df-laut 29445  df-ldil 29560  df-ltrn 29561  df-trl 29615  df-tgrp 30199  df-tendo 30211  df-edring 30213  df-dveca 30459  df-disoa 30486  df-dvech 30536  df-dib 30596  df-dic 30630  df-dih 30686  df-doch 30805  df-djh 30852  df-lcdual 31044  df-mapd 31082
  Copyright terms: Public domain W3C validator