Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8ad Unicode version

Theorem mapdh8ad 31945
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh8a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh8a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh8a.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh8a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh8a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh8a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh8a.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh8a.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh8a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh8a.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh8a.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh8a.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh8a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh8ac.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh8ac.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh8ac.eg  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
mapdh8ac.ee  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  E )
mapdh8ac.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8ac.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8ac.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8ac.t  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8ac.yn  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { T } ) )
mapdh8ad.xy  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdh8ad.xz  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdh8ad  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. Z ,  E ,  T >. ) )
Distinct variable groups:    x, h,  .-    .0. , h, x    C, h    D, h, x    h, F, x    h, I    h, G, x    h, J, x   
h, M, x    h, N, x    ph, h    R, h, x    x, Q    T, h, x    U, h    h, X, x    h, Y, x   
h, E, x    h, Z, x    x, I    h, V
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x)    Q( h)    U( x)    H( x, h)    K( x, h)    V( x)    W( x, h)

Proof of Theorem mapdh8ad
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdh8a.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdh8a.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 mapdh8a.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
5 mapdh8a.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 mapdh8ac.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
76eldifad 3268 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
8 mapdh8ac.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
98eldifad 3268 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
10 mapdh8ac.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1110eldifad 3268 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
121, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11dvh3dim2 31614 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  V  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )
13 mapdh8a.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
14 mapdh8a.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
15 mapdh8a.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
16 mapdh8a.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  C
)
17 mapdh8a.r . . . 4  |-  R  =  ( -g `  C
)
18 mapdh8a.q . . . 4  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
19 mapdh8a.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
20 mapdh8a.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
21 mapdh8a.i . . . 4  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
2253ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
23 mapdh8ac.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
24233ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  F  e.  D )
25 mapdh8ac.mn . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
26253ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
27 mapdh8ac.eg . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
28273ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
29 mapdh8ac.ee . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  E )
30293ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  E )
3163ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
3283ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
33103ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  Z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
34 mapdh8ac.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
35343ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  T  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
36 mapdh8ac.yn . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { T } ) )
37363ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( N `  { X } )  =  ( N `  { T } ) )
38 eqidd 2381 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( I `  <. X ,  F ,  w >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) )
39 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
401, 2, 5dvhlmod 31276 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
41403ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  U  e.  LMod )
423, 39, 4, 40, 7, 9lspprcl 15974 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
43423ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
44 simp2 958 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  w  e.  V )
45 simp3l 985 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
463, 14, 39, 41, 43, 44, 45lssneln0 15948 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  w  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
471, 2, 5dvhlvec 31275 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
48473ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  U  e.  LVec )
4973ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  X  e.  V )
5093ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  Y  e.  V )
513, 4, 48, 44, 49, 50, 45lspindpi 16124 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
5251simprd 450 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
5352necomd 2626 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } ) )
54 simpl1 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  w }
) )  ->  ph )
5554, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  w }
) )  ->  U  e.  LVec )
5654, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  w }
) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
57 simpl2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  w }
) )  ->  w  e.  V )
5854, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  w }
) )  ->  Y  e.  V )
59 mapdh8ad.xy . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
6054, 59syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  w }
) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
61 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  w }
) )  ->  X  e.  ( N `  { Y ,  w }
) )
62 prcom 3818 . . . . . . . 8  |-  { Y ,  w }  =  {
w ,  Y }
6362fveq2i 5664 . . . . . . 7  |-  ( N `
 { Y ,  w } )  =  ( N `  { w ,  Y } )
6461, 63syl6eleq 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  w }
) )  ->  X  e.  ( N `  {
w ,  Y }
) )
653, 14, 4, 55, 56, 57, 58, 60, 64lspexch 16121 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  w }
) )  ->  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
6645, 65mtand 641 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) )
67113ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  Z  e.  V )
68 simp3r 986 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )
693, 4, 48, 44, 49, 67, 68lspindpi 16124 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
7069simprd 450 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
71 simpl1 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  {
w ,  Z }
) )  ->  ph )
7271, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  {
w ,  Z }
) )  ->  U  e.  LVec )
7371, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  {
w ,  Z }
) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
74 simpl2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  {
w ,  Z }
) )  ->  w  e.  V )
7571, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  {
w ,  Z }
) )  ->  Z  e.  V )
76 mapdh8ad.xz . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
7771, 76syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  {
w ,  Z }
) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
78 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  {
w ,  Z }
) )  ->  X  e.  ( N `  {
w ,  Z }
) )
793, 14, 4, 72, 73, 74, 75, 77, 78lspexch 16121 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  /\  X  e.  ( N `  {
w ,  Z }
) )  ->  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )
8068, 79mtand 641 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { w ,  Z } ) )
811, 2, 3, 13, 14, 4, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 28, 30, 31, 32, 33, 35, 37, 38, 46, 53, 66, 70, 80mapdh8ac 31944 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  -> 
( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. Z ,  E ,  T >. ) )
8281rexlimdv3a 2768 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  V  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )  ->  (
I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `  <. Z ,  E ,  T >. ) ) )
8312, 82mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. Z ,  E ,  T >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   E.wrex 2643   _Vcvv 2892    \ cdif 3253   ifcif 3675   {csn 3750   {cpr 3751   <.cotp 3754    e. cmpt 4200   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   1stc1st 6279   2ndc2nd 6280   iota_crio 6471   Basecbs 13389   0gc0g 13643   -gcsg 14608   LModclmod 15870   LSubSpclss 15928   LSpanclspn 15967   LVecclvec 16094   HLchlt 29516   LHypclh 30149   DVecHcdvh 31244  LCDualclcd 31752  mapdcmpd 31790
This theorem is referenced by:  mapdh8j  31954
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-ot 3760  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-tpos 6408  df-undef 6472  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-0g 13647  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-poset 14323  df-plt 14335  df-lub 14351  df-glb 14352  df-join 14353  df-meet 14354  df-p0 14388  df-p1 14389  df-lat 14395  df-clat 14457  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-sbg 14734  df-subg 14861  df-cntz 15036  df-oppg 15062  df-lsm 15190  df-cmn 15334  df-abl 15335  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-ur 15585  df-oppr 15648  df-dvdsr 15666  df-unit 15667  df-invr 15697  df-dvr 15708  df-drng 15757  df-lmod 15872  df-lss 15929  df-lsp 15968  df-lvec 16095  df-lsatoms 29142  df-lshyp 29143  df-lcv 29185  df-lfl 29224  df-lkr 29252  df-ldual 29290  df-oposet 29342  df-ol 29344  df-oml 29345  df-covers 29432  df-ats 29433  df-atl 29464  df-cvlat 29488  df-hlat 29517  df-llines 29663  df-lplanes 29664  df-lvols 29665  df-lines 29666  df-psubsp 29668  df-pmap 29669  df-padd 29961  df-lhyp 30153  df-laut 30154  df-ldil 30269  df-ltrn 30270  df-trl 30324  df-tgrp 30908  df-tendo 30920  df-edring 30922  df-dveca 31168  df-disoa 31195  df-dvech 31245  df-dib 31305  df-dic 31339  df-dih 31395  df-doch 31514  df-djh 31561  df-lcdual 31753  df-mapd 31791
  Copyright terms: Public domain W3C validator