Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8c Unicode version

Theorem mapdh8c 31250
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh8a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh8a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh8a.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh8a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh8a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh8a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh8a.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh8a.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh8a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh8a.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh8a.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh8a.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh8a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh8c.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh8c.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh8c.a  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  =  E )
mapdh8c.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8c.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8c.xt  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8c.yz  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8c.w  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8c.wt  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8c.ut  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8c.vw  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } ) )
mapdh8c.e  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { Y ,  T } ) )
mapdh8c.xn  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdh8c  |-  ( ph  ->  ( I `  <. w ,  E ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
Distinct variable groups:    x, h,  .-    .0. , h, x    C, h    D, h, x    h, F, x    h, I    h, J, x    h, M, x   
h, N, x    ph, h    R, h, x    x, Q    T, h, x    U, h   
h, X, x    h, Y, x    h, E, x   
w, h, x
Allowed substitution hints:    ph( x, w)    C( x, w)    D( w)    Q( w, h)    R( w)    T( w)    U( x, w)    E( w)    F( w)    H( x, w, h)    I( x, w)    J( w)    K( x, w, h)    M( w)    .- ( w)    N( w)    V( x, w, h)    W( x, w, h)    X( w)    Y( w)    .0. ( w)

Proof of Theorem mapdh8c
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdh8a.u . 2  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdh8a.v . 2  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 mapdh8a.s . 2  |-  .-  =  ( -g `  U )
5 mapdh8a.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
6 mapdh8a.n . 2  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 mapdh8a.c . 2  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 mapdh8a.d . 2  |-  D  =  ( Base `  C
)
9 mapdh8a.r . 2  |-  R  =  ( -g `  C
)
10 mapdh8a.q . 2  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
11 mapdh8a.j . 2  |-  J  =  ( LSpan `  C )
12 mapdh8a.m . 2  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
13 mapdh8a.i . 2  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
14 mapdh8a.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15 mapdh8c.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
16 mapdh8c.mn . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
17 mapdh8c.a . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  =  E )
18 mapdh8c.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
19 mapdh8c.w . 2  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
20 mapdh8c.wt . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
21 mapdh8c.xt . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
221, 2, 14dvhlvec 30578 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
23 eldifi 3299 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  e.  V )
2418, 23syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
25 mapdh8c.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
26 eldifi 3299 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  e.  V )
2725, 26syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
28 eldifi 3299 . . . . 5  |-  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  w  e.  V )
2919, 28syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
30 mapdh8c.xn . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) )
313, 6, 22, 24, 27, 29, 30lspindpi 15881 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { w } ) ) )
3231simprd 449 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { w } ) )
33 eldifi 3299 . . . 4  |-  ( T  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  T  e.  V )
3421, 33syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
35 mapdh8c.ut . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
36 mapdh8c.e . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { Y ,  T } ) )
373, 5, 6, 22, 18, 27, 34, 35, 36lspexch 15878 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { X ,  T } ) )
3822adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  w } ) )  ->  U  e.  LVec )
3925adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  w } ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
4024adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  w } ) )  ->  X  e.  V
)
4129adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  w } ) )  ->  w  e.  V
)
42 mapdh8c.vw . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } ) )
4342adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  w } ) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  {
w } ) )
44 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  w } ) )  ->  Y  e.  ( N `  { X ,  w } ) )
453, 5, 6, 38, 39, 40, 41, 43, 44lspexch 15878 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  w } ) )  ->  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) )
4630, 45mtand 640 . 2  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  w } ) )
471, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 32, 37, 46mapdh8b 31249 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. w ,  E ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685    =/= wne 2447   _Vcvv 2789    \ cdif 3150   ifcif 3566   {csn 3641   {cpr 3642   <.cotp 3645    e. cmpt 4078   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   1stc1st 6082   2ndc2nd 6083   iota_crio 6291   Basecbs 13144   0gc0g 13396   -gcsg 14361   LSpanclspn 15724   LVecclvec 15851   HLchlt 28819   LHypclh 29452   DVecHcdvh 30547  LCDualclcd 31055  mapdcmpd 31093
This theorem is referenced by:  mapdh8d0N  31251  mapdh8d  31252
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-ot 3651  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-tpos 6196  df-iota 6253  df-undef 6292  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-fz 10779  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-0g 13400  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-poset 14076  df-plt 14088  df-lub 14104  df-glb 14105  df-join 14106  df-meet 14107  df-p0 14141  df-p1 14142  df-lat 14148  df-clat 14210  df-mnd 14363  df-submnd 14412  df-grp 14485  df-minusg 14486  df-sbg 14487  df-subg 14614  df-cntz 14789  df-oppg 14815  df-lsm 14943  df-cmn 15087  df-abl 15088  df-mgp 15322  df-rng 15336  df-ur 15338  df-oppr 15401  df-dvdsr 15419  df-unit 15420  df-invr 15450  df-dvr 15461  df-drng 15510  df-lmod 15625  df-lss 15686  df-lsp 15725  df-lvec 15852  df-lsatoms 28445  df-lshyp 28446  df-lcv 28488  df-lfl 28527  df-lkr 28555  df-ldual 28593  df-oposet 28645  df-ol 28647  df-oml 28648  df-covers 28735  df-ats 28736  df-atl 28767  df-cvlat 28791  df-hlat 28820  df-llines 28966  df-lplanes 28967  df-lvols 28968  df-lines 28969  df-psubsp 28971  df-pmap 28972  df-padd 29264  df-lhyp 29456  df-laut 29457  df-ldil 29572  df-ltrn 29573  df-trl 29627  df-tgrp 30211  df-tendo 30223  df-edring 30225  df-dveca 30471  df-disoa 30498  df-dvech 30548  df-dib 30608  df-dic 30642  df-dih 30698  df-doch 30817  df-djh 30864  df-lcdual 31056  df-mapd 31094
  Copyright terms: Public domain W3C validator