Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8d Unicode version

Theorem mapdh8d 31124
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh8a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh8a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh8a.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh8a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh8a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh8a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh8a.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh8a.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh8a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh8a.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh8a.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh8a.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh8a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh8d.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh8d.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh8b.eg  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
mapdh8d.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8d.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8d.xt  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8d.yz  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8d.w  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8d.wt  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8d.ut  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8d.vw  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } ) )
mapdh8d.xn  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdh8d  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
Distinct variable groups:    x, h,  .-    .0. , h, x    C, h    D, h, x    h, F, x    h, I    h, G, x    h, J, x   
h, M, x    h, N, x    ph, h    R, h, x    x, Q    T, h, x    U, h    h, X, x    h, Y, x   
w, h, x    x, I
Allowed substitution hints:    ph( x, w)    C( x, w)    D( w)    Q( w, h)    R( w)    T( w)    U( x, w)    F( w)    G( w)    H( x, w, h)    I( w)    J( w)    K( x, w, h)    M( w)    .- ( w)    N( w)    V( x, w, h)    W( x, w, h)    X( w)    Y( w)    .0. ( w)

Proof of Theorem mapdh8d
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdh8a.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdh8a.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 mapdh8a.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
5 mapdh8a.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
6 mapdh8a.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 mapdh8a.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 mapdh8a.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  C
)
9 mapdh8a.r . . . 4  |-  R  =  ( -g `  C
)
10 mapdh8a.q . . . 4  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
11 mapdh8a.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
12 mapdh8a.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
13 mapdh8a.i . . . 4  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
14 mapdh8a.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
1514adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 mapdh8b.eg . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
17 mapdh8d.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
18 mapdh8d.mn . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
19 mapdh8d.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
20 mapdh8d.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21 eldifi 3259 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  e.  V )
2220, 21syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
231, 2, 14dvhlvec 30450 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
24 eldifi 3259 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  e.  V )
2519, 24syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
26 mapdh8d.w . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
27 eldifi 3259 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  w  e.  V )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
29 mapdh8d.xn . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) )
303, 6, 23, 25, 22, 28, 29lspindpi 15833 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { w } ) ) )
3130simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
3210, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 17, 18, 19, 22, 31mapdhcl 31068 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  e.  D )
3316, 32eqeltrrd 2331 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  D )
3433adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  G  e.  D
)
3510, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 17, 18, 19, 20, 33, 31mapdheq 31069 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G  <-> 
( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R G ) } ) ) ) )
3616, 35mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R G ) } ) ) )
3736simpld 447 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } ) )
3837adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } ) )
39 mapdh8d.vw . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } ) )
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 16, 19, 20, 39, 26, 29mapdh8a 31116 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  w >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) )
4140adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  w >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) )
4220adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
4326adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  w  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
44 mapdh8d.wt . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
4544adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
46 mapdh8d.xt . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
4746adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  T  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
4839adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  {
w } ) )
49 simpr 449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )
5029adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) )
511, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 34, 38, 41, 42, 43, 45, 47, 48, 49, 50mapdh8b 31121 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )  =  ( I `
 <. Y ,  G ,  T >. ) )
5217adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  F  e.  D
)
5318adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
54 eqidd 2257 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) )
5519adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
56 mapdh8d.yz . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
5756adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
58 mapdh8d.ut . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
5958adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
601, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 52, 53, 54, 55, 42, 47, 57, 43, 45, 59, 48, 49, 50mapdh8c 31122 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
6151, 60eqtr3d 2290 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  T >. ) )
6214adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6317adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  F  e.  D )
6418adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `
 { F }
) )
6516adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  (
I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
6619adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
6720adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
6856adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
6946adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  T  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
70 simpr 449 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )
711, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70mapdh8a 31116 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  (
I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  T >. ) )
7261, 71pm2.61dan 769 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   _Vcvv 2757    \ cdif 3110   ifcif 3525   {csn 3600   {cpr 3601   <.cotp 3604    e. cmpt 4037   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   1stc1st 6040   2ndc2nd 6041   iota_crio 6249   Basecbs 13096   0gc0g 13348   -gcsg 14313   LSpanclspn 15676   HLchlt 28691   LHypclh 29324   DVecHcdvh 30419  LCDualclcd 30927  mapdcmpd 30965
This theorem is referenced by:  mapdh8e  31125
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-ot 3610  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-iin 3868  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-of 5998  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-tpos 6154  df-iota 6211  df-undef 6250  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-oadd 6437  df-er 6614  df-map 6728  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-4 9760  df-5 9761  df-6 9762  df-n0 9919  df-z 9978  df-uz 10184  df-fz 10735  df-struct 13098  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-ress 13103  df-plusg 13169  df-mulr 13170  df-sca 13172  df-vsca 13173  df-0g 13352  df-mre 13436  df-mrc 13437  df-acs 13439  df-poset 14028  df-plt 14040  df-lub 14056  df-glb 14057  df-join 14058  df-meet 14059  df-p0 14093  df-p1 14094  df-lat 14100  df-clat 14162  df-mnd 14315  df-submnd 14364  df-grp 14437  df-minusg 14438  df-sbg 14439  df-subg 14566  df-cntz 14741  df-oppg 14767  df-lsm 14895  df-cmn 15039  df-abl 15040  df-mgp 15274  df-ring 15288  df-ur 15290  df-oppr 15353  df-dvdsr 15371  df-unit 15372  df-invr 15402  df-dvr 15413  df-drng 15462  df-lmod 15577  df-lss 15638  df-lsp 15677  df-lvec 15804  df-lsatoms 28317  df-lshyp 28318  df-lcv 28360  df-lfl 28399  df-lkr 28427  df-ldual 28465  df-oposet 28517  df-ol 28519  df-oml 28520  df-covers 28607  df-ats 28608  df-atl 28639  df-cvlat 28663  df-hlat 28692  df-llines 28838  df-lplanes 28839  df-lvols 28840  df-lines 28841  df-psubsp 28843  df-pmap 28844  df-padd 29136  df-lhyp 29328  df-laut 29329  df-ldil 29444  df-ltrn 29445  df-trl 29499  df-tgrp 30083  df-tendo 30095  df-edring 30097  df-dveca 30343  df-disoa 30370  df-dvech 30420  df-dib 30480  df-dic 30514  df-dih 30570  df-doch 30689  df-djh 30736  df-lcdual 30928  df-mapd 30966
  Copyright terms: Public domain W3C validator