Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8d Unicode version

Theorem mapdh8d 32595
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh8a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh8a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh8a.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh8a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh8a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh8a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh8a.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh8a.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh8a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh8a.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh8a.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh8a.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh8a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh8d.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh8d.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh8b.eg  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
mapdh8d.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8d.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8d.xt  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8d.yz  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8d.w  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8d.wt  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8d.ut  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8d.vw  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } ) )
mapdh8d.xn  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdh8d  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
Distinct variable groups:    x, h,  .-    .0. , h, x    C, h    D, h, x    h, F, x    h, I    h, G, x    h, J, x   
h, M, x    h, N, x    ph, h    R, h, x    x, Q    T, h, x    U, h    h, X, x    h, Y, x   
w, h, x    x, I
Allowed substitution hints:    ph( x, w)    C( x, w)    D( w)    Q( w, h)    R( w)    T( w)    U( x, w)    F( w)    G( w)    H( x, w, h)    I( w)    J( w)    K( x, w, h)    M( w)    .- ( w)    N( w)    V( x, w, h)    W( x, w, h)    X( w)    Y( w)    .0. ( w)

Proof of Theorem mapdh8d
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdh8a.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdh8a.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 mapdh8a.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
5 mapdh8a.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
6 mapdh8a.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 mapdh8a.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 mapdh8a.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  C
)
9 mapdh8a.r . . . 4  |-  R  =  ( -g `  C
)
10 mapdh8a.q . . . 4  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
11 mapdh8a.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
12 mapdh8a.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
13 mapdh8a.i . . . 4  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
14 mapdh8a.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
1514adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 mapdh8b.eg . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
17 mapdh8d.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
18 mapdh8d.mn . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
19 mapdh8d.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
20 mapdh8d.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21 eldifi 3311 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  e.  V )
2220, 21syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
231, 2, 14dvhlvec 31921 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
24 eldifi 3311 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  e.  V )
2519, 24syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
26 mapdh8d.w . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
27 eldifi 3311 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  w  e.  V )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
29 mapdh8d.xn . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) )
303, 6, 23, 25, 22, 28, 29lspindpi 15901 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { w } ) ) )
3130simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
3210, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 17, 18, 19, 22, 31mapdhcl 32539 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  e.  D )
3316, 32eqeltrrd 2371 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  D )
3433adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  G  e.  D
)
3510, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 17, 18, 19, 20, 33, 31mapdheq 32540 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G  <-> 
( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R G ) } ) ) ) )
3616, 35mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R G ) } ) ) )
3736simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } ) )
3837adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } ) )
39 mapdh8d.vw . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } ) )
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 16, 19, 20, 39, 26, 29mapdh8a 32587 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  w >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) )
4140adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  w >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) )
4220adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
4326adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  w  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
44 mapdh8d.wt . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
4544adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
46 mapdh8d.xt . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
4746adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  T  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
4839adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  {
w } ) )
49 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )
5029adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) )
511, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 34, 38, 41, 42, 43, 45, 47, 48, 49, 50mapdh8b 32592 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )  =  ( I `
 <. Y ,  G ,  T >. ) )
5217adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  F  e.  D
)
5318adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
54 eqidd 2297 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) )
5519adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
56 mapdh8d.yz . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
5756adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
58 mapdh8d.ut . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
5958adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
601, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 52, 53, 54, 55, 42, 47, 57, 43, 45, 59, 48, 49, 50mapdh8c 32593 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
6151, 60eqtr3d 2330 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  T >. ) )
6214adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6317adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  F  e.  D )
6418adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `
 { F }
) )
6516adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  (
I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
6619adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
6720adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
6856adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
6946adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  T  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
70 simpr 447 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )
711, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70mapdh8a 32587 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  (
I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  T >. ) )
7261, 71pm2.61dan 766 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   ifcif 3578   {csn 3653   {cpr 3654   <.cotp 3657    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137   iota_crio 6313   Basecbs 13164   0gc0g 13416   -gcsg 14381   LSpanclspn 15744   HLchlt 30162   LHypclh 30795   DVecHcdvh 31890  LCDualclcd 32398  mapdcmpd 32436
This theorem is referenced by:  mapdh8e  32596
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-ot 3663  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-undef 6314  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-0g 13420  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-oppg 14835  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lvec 15872  df-lsatoms 29788  df-lshyp 29789  df-lcv 29831  df-lfl 29870  df-lkr 29898  df-ldual 29936  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970  df-tgrp 31554  df-tendo 31566  df-edring 31568  df-dveca 31814  df-disoa 31841  df-dvech 31891  df-dib 31951  df-dic 31985  df-dih 32041  df-doch 32160  df-djh 32207  df-lcdual 32399  df-mapd 32437
  Copyright terms: Public domain W3C validator