Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8e Structured version   Unicode version

Theorem mapdh8e 32519
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. Eliminate  w. (Contributed by NM, 10-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh8a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh8a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh8a.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh8a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh8a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh8a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh8a.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh8a.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh8a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh8a.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh8a.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh8a.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh8a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh8e.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh8e.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh8e.eg  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
mapdh8e.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8e.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8e.t  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8e.xy  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdh8e.xt  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8e.yt  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8e.e  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { Y ,  T } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdh8e  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
Distinct variable groups:    x, h,  .-    .0. , h, x    C, h    D, h, x    h, F, x    h, I    h, G, x    h, J, x   
h, M, x    h, N, x    ph, h    R, h, x    x, Q    T, h, x    U, h    h, X, x    h, Y, x   
x, I    h, V
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x)    Q( h)    U( x)    H( x, h)    K( x, h)    V( x)    W( x, h)

Proof of Theorem mapdh8e
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdh8a.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdh8a.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 mapdh8a.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
5 mapdh8a.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 mapdh8e.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
76eldifad 3324 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
8 mapdh8e.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
98eldifad 3324 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
101, 2, 3, 4, 5, 7, 9dvh3dim 32181 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  V  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
11 mapdh8a.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
12 mapdh8a.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
13 mapdh8a.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
14 mapdh8a.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  C
)
15 mapdh8a.r . . . 4  |-  R  =  ( -g `  C
)
16 mapdh8a.q . . . 4  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
17 mapdh8a.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
18 mapdh8a.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
19 mapdh8a.i . . . 4  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
2053ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
21 mapdh8e.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
22213ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  F  e.  D )
23 mapdh8e.mn . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
24233ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `
 { F }
) )
25 mapdh8e.eg . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
26253ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  (
I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
2763ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
2883ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
29 mapdh8e.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
30293ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  T  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
31 mapdh8e.yt . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
32313ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
33 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
341, 2, 5dvhlmod 31845 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
35343ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  U  e.  LMod )
363, 33, 4, 34, 7, 9lspprcl 16046 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
37363ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  e.  ( LSubSp `  U )
)
38 simp2 958 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  w  e.  V )
39 simp3 959 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
403, 12, 33, 35, 37, 38, 39lssneln0 16020 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  w  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
411, 2, 5dvhlvec 31844 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
4229eldifad 3324 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
43 mapdh8e.xy . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
44 mapdh8e.e . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { Y ,  T } ) )
45 prcom 3874 . . . . . . . . . . 11  |-  { Y ,  T }  =  { T ,  Y }
4645fveq2i 5723 . . . . . . . . . 10  |-  ( N `
 { Y ,  T } )  =  ( N `  { T ,  Y } )
4744, 46syl6eleq 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { T ,  Y } ) )
483, 12, 4, 41, 6, 42, 9, 43, 47lspexch 16193 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
4933, 4, 34, 36, 48lspsnel5a 16064 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
50493ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
5134adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  U  e.  LMod )
5236adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  e.  ( LSubSp `  U )
)
53 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  w  e.  V )
543, 33, 4, 51, 52, 53lspsnel5 16063 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  (
w  e.  ( N `
 { X ,  Y } )  <->  ( N `  { w } ) 
C_  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
5554biimprd 215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  (
( N `  {
w } )  C_  ( N `  { X ,  Y } )  ->  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
5655con3d 127 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  ->  -.  ( N `  {
w } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
57563impia 1150 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  -.  ( N `  { w } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
58 nssne2 3397 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  { T } )  C_  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  ( N `  {
w } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )  ->  ( N `  { T } )  =/=  ( N `  {
w } ) )
5950, 57, 58syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { T } )  =/=  ( N `  { w } ) )
6059necomd 2681 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
61 mapdh8e.xt . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
62613ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
63413ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  U  e.  LVec )
6473ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  X  e.  V )
6593ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  Y  e.  V )
663, 4, 63, 38, 64, 65, 39lspindpi 16196 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
6766simprd 450 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
6867necomd 2681 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } ) )
69433ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
703, 12, 4, 63, 27, 65, 38, 69, 39lspindp2l 16198 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  (
( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) ) )
7170simprd 450 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) )
721, 2, 3, 11, 12, 4, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 40, 60, 62, 68, 71mapdh8d 32518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  (
I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  T >. ) )
7372rexlimdv3a 2824 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  V  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  T >. ) ) )
7410, 73mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   ifcif 3731   {csn 3806   {cpr 3807   <.cotp 3810    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1stc1st 6339   2ndc2nd 6340   iota_crio 6534   Basecbs 13461   0gc0g 13715   -gcsg 14680   LModclmod 15942   LSubSpclss 16000   LSpanclspn 16039   LVecclvec 16166   HLchlt 30085   LHypclh 30718   DVecHcdvh 31813  LCDualclcd 32321  mapdcmpd 32359
This theorem is referenced by:  mapdh8g  32521
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-ot 3816  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-undef 6535  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-cntz 15108  df-oppg 15134  df-lsm 15262  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-drng 15829  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-lvec 16167  df-lsatoms 29711  df-lshyp 29712  df-lcv 29754  df-lfl 29793  df-lkr 29821  df-ldual 29859  df-oposet 29911  df-ol 29913  df-oml 29914  df-covers 30001  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086  df-llines 30232  df-lplanes 30233  df-lvols 30234  df-lines 30235  df-psubsp 30237  df-pmap 30238  df-padd 30530  df-lhyp 30722  df-laut 30723  df-ldil 30838  df-ltrn 30839  df-trl 30893  df-tgrp 31477  df-tendo 31489  df-edring 31491  df-dveca 31737  df-disoa 31764  df-dvech 31814  df-dib 31874  df-dic 31908  df-dih 31964  df-doch 32083  df-djh 32130  df-lcdual 32322  df-mapd 32360
  Copyright terms: Public domain W3C validator