Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8e Unicode version

Theorem mapdh8e 32047
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. Eliminate  w. (Contributed by NM, 10-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh8a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh8a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh8a.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh8a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh8a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh8a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh8a.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh8a.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh8a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh8a.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh8a.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh8a.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh8a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh8e.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh8e.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh8e.eg  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
mapdh8e.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8e.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8e.t  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8e.xy  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdh8e.xt  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8e.yt  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8e.e  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { Y ,  T } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdh8e  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
Distinct variable groups:    x, h,  .-    .0. , h, x    C, h    D, h, x    h, F, x    h, I    h, G, x    h, J, x   
h, M, x    h, N, x    ph, h    R, h, x    x, Q    T, h, x    U, h    h, X, x    h, Y, x   
x, I    h, V
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x)    Q( h)    U( x)    H( x, h)    K( x, h)    V( x)    W( x, h)

Proof of Theorem mapdh8e
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdh8a.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdh8a.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 mapdh8a.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
5 mapdh8a.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 mapdh8e.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
7 eldifi 3300 . . . 4  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  e.  V )
86, 7syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
9 mapdh8e.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
10 eldifi 3300 . . . 4  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  e.  V )
119, 10syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
121, 2, 3, 4, 5, 8, 11dvh3dim 31709 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  V  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
13 mapdh8a.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
14 mapdh8a.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
15 mapdh8a.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
16 mapdh8a.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  C
)
17 mapdh8a.r . . . 4  |-  R  =  ( -g `  C
)
18 mapdh8a.q . . . 4  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
19 mapdh8a.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
20 mapdh8a.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
21 mapdh8a.i . . . 4  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
2253ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
23 mapdh8e.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
24233ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  F  e.  D )
25 mapdh8e.mn . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
26253ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `
 { F }
) )
27 mapdh8e.eg . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
28273ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  (
I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
2963ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
3093ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
31 mapdh8e.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
32313ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  T  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
33 mapdh8e.yt . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
34333ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
35 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
361, 2, 5dvhlmod 31373 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
37363ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  U  e.  LMod )
383, 35, 4, 36, 8, 11lspprcl 15737 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
39383ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  e.  ( LSubSp `  U )
)
40 simp2 956 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  w  e.  V )
41 simp3 957 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
423, 14, 35, 37, 39, 40, 41lssneln0 15711 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  w  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
431, 2, 5dvhlvec 31372 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
44 eldifi 3300 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  T  e.  V )
4531, 44syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
46 mapdh8e.xy . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
47 mapdh8e.e . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { Y ,  T } ) )
48 prcom 3707 . . . . . . . . . . 11  |-  { Y ,  T }  =  { T ,  Y }
4948fveq2i 5530 . . . . . . . . . 10  |-  ( N `
 { Y ,  T } )  =  ( N `  { T ,  Y } )
5047, 49syl6eleq 2375 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { T ,  Y } ) )
513, 14, 4, 43, 6, 45, 11, 46, 50lspexch 15884 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
5235, 4, 36, 38, 51lspsnel5a 15755 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
53523ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
5436adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  U  e.  LMod )
5538adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  e.  ( LSubSp `  U )
)
56 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  w  e.  V )
573, 35, 4, 54, 55, 56lspsnel5 15754 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  (
w  e.  ( N `
 { X ,  Y } )  <->  ( N `  { w } ) 
C_  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
5857biimprd 214 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  (
( N `  {
w } )  C_  ( N `  { X ,  Y } )  ->  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
5958con3d 125 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  ->  -.  ( N `  {
w } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
60593impia 1148 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  -.  ( N `  { w } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
61 nssne2 3237 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  { T } )  C_  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  ( N `  {
w } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )  ->  ( N `  { T } )  =/=  ( N `  {
w } ) )
6253, 60, 61syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { T } )  =/=  ( N `  { w } ) )
6362necomd 2531 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
64 mapdh8e.xt . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
65643ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
66433ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  U  e.  LVec )
6783ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  X  e.  V )
68113ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  Y  e.  V )
693, 4, 66, 40, 67, 68, 41lspindpi 15887 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
7069simprd 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
7170necomd 2531 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } ) )
72463ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
733, 14, 4, 66, 29, 68, 40, 72, 41lspindp2l 15889 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  (
( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) ) )
7473simprd 449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) )
751, 2, 3, 13, 14, 4, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 28, 29, 30, 32, 34, 42, 63, 65, 71, 74mapdh8d 32046 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  (
I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  T >. ) )
7675rexlimdv3a 2671 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  V  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  T >. ) ) )
7712, 76mpd 14 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   E.wrex 2546   _Vcvv 2790    \ cdif 3151    C_ wss 3154   ifcif 3567   {csn 3642   {cpr 3643   <.cotp 3646    e. cmpt 4079   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   1stc1st 6122   2ndc2nd 6123   iota_crio 6299   Basecbs 13150   0gc0g 13402   -gcsg 14367   LModclmod 15629   LSubSpclss 15691   LSpanclspn 15730   LVecclvec 15857   HLchlt 29613   LHypclh 30246   DVecHcdvh 31341  LCDualclcd 31849  mapdcmpd 31887
This theorem is referenced by:  mapdh8g  32049
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-ot 3652  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-tpos 6236  df-undef 6300  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-fz 10785  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-0g 13406  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-poset 14082  df-plt 14094  df-lub 14110  df-glb 14111  df-join 14112  df-meet 14113  df-p0 14147  df-p1 14148  df-lat 14154  df-clat 14216  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-grp 14491  df-minusg 14492  df-sbg 14493  df-subg 14620  df-cntz 14795  df-oppg 14821  df-lsm 14949  df-cmn 15093  df-abl 15094  df-mgp 15328  df-rng 15342  df-ur 15344  df-oppr 15407  df-dvdsr 15425  df-unit 15426  df-invr 15456  df-dvr 15467  df-drng 15516  df-lmod 15631  df-lss 15692  df-lsp 15731  df-lvec 15858  df-lsatoms 29239  df-lshyp 29240  df-lcv 29282  df-lfl 29321  df-lkr 29349  df-ldual 29387  df-oposet 29439  df-ol 29441  df-oml 29442  df-covers 29529  df-ats 29530  df-atl 29561  df-cvlat 29585  df-hlat 29614  df-llines 29760  df-lplanes 29761  df-lvols 29762  df-lines 29763  df-psubsp 29765  df-pmap 29766  df-padd 30058  df-lhyp 30250  df-laut 30251  df-ldil 30366  df-ltrn 30367  df-trl 30421  df-tgrp 31005  df-tendo 31017  df-edring 31019  df-dveca 31265  df-disoa 31292  df-dvech 31342  df-dib 31402  df-dic 31436  df-dih 31492  df-doch 31611  df-djh 31658  df-lcdual 31850  df-mapd 31888
  Copyright terms: Public domain W3C validator