Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8e Unicode version

Theorem mapdh8e 31104
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. Eliminate  w. (Contributed by NM, 10-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh8a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh8a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh8a.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh8a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh8a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh8a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh8a.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh8a.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh8a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh8a.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh8a.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh8a.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh8a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh8e.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh8e.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh8e.eg  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
mapdh8e.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8e.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8e.t  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8e.xy  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdh8e.xt  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8e.yt  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8e.e  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { Y ,  T } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdh8e  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
Distinct variable groups:    x, h,  .-    .0. , h, x    C, h    D, h, x    h, F, x    h, I    h, G, x    h, J, x   
h, M, x    h, N, x    ph, h    R, h, x    x, Q    T, h, x    U, h    h, X, x    h, Y, x   
x, I    h, V
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x)    Q( h)    U( x)    H( x, h)    K( x, h)    V( x)    W( x, h)

Proof of Theorem mapdh8e
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdh8a.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdh8a.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 mapdh8a.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
5 mapdh8a.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 mapdh8e.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
7 eldifi 3240 . . . 4  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  e.  V )
86, 7syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
9 mapdh8e.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
10 eldifi 3240 . . . 4  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  e.  V )
119, 10syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
121, 2, 3, 4, 5, 8, 11dvh3dim 30766 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  V  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
13 mapdh8a.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
14 mapdh8a.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
15 mapdh8a.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
16 mapdh8a.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  C
)
17 mapdh8a.r . . . 4  |-  R  =  ( -g `  C
)
18 mapdh8a.q . . . 4  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
19 mapdh8a.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
20 mapdh8a.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
21 mapdh8a.i . . . 4  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
2253ad2ant1 981 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
23 mapdh8e.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
24233ad2ant1 981 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  F  e.  D )
25 mapdh8e.mn . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
26253ad2ant1 981 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `
 { F }
) )
27 mapdh8e.eg . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
28273ad2ant1 981 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  (
I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
2963ad2ant1 981 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
3093ad2ant1 981 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
31 mapdh8e.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
32313ad2ant1 981 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  T  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
33 mapdh8e.yt . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
34333ad2ant1 981 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
35 eqid 2256 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
361, 2, 5dvhlmod 30430 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
37363ad2ant1 981 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  U  e.  LMod )
383, 35, 4, 36, 8, 11lspprcl 15662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
39383ad2ant1 981 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  e.  ( LSubSp `  U )
)
40 simp2 961 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  w  e.  V )
41 simp3 962 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
423, 14, 35, 37, 39, 40, 41lssneln0 15636 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  w  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
431, 2, 5dvhlvec 30429 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
44 eldifi 3240 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  T  e.  V )
4531, 44syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
46 mapdh8e.xy . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
47 mapdh8e.e . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { Y ,  T } ) )
48 prcom 3646 . . . . . . . . . . 11  |-  { Y ,  T }  =  { T ,  Y }
4948fveq2i 5426 . . . . . . . . . 10  |-  ( N `
 { Y ,  T } )  =  ( N `  { T ,  Y } )
5047, 49syl6eleq 2346 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { T ,  Y } ) )
513, 14, 4, 43, 6, 45, 11, 46, 50lspexch 15809 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
5235, 4, 36, 38, 51lspsnel5a 15680 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
53523ad2ant1 981 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
5436adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  U  e.  LMod )
5538adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  e.  ( LSubSp `  U )
)
56 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  w  e.  V )
573, 35, 4, 54, 55, 56lspsnel5 15679 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  (
w  e.  ( N `
 { X ,  Y } )  <->  ( N `  { w } ) 
C_  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
5857biimprd 216 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  (
( N `  {
w } )  C_  ( N `  { X ,  Y } )  ->  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
5958con3d 127 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  ->  -.  ( N `  {
w } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
60593impia 1153 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  -.  ( N `  { w } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
61 nssne2 3177 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  { T } )  C_  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  ( N `  {
w } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )  ->  ( N `  { T } )  =/=  ( N `  {
w } ) )
6253, 60, 61syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { T } )  =/=  ( N `  { w } ) )
6362necomd 2502 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
64 mapdh8e.xt . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
65643ad2ant1 981 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
66433ad2ant1 981 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  U  e.  LVec )
6783ad2ant1 981 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  X  e.  V )
68113ad2ant1 981 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  Y  e.  V )
693, 4, 66, 40, 67, 68, 41lspindpi 15812 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
7069simprd 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
7170necomd 2502 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } ) )
72463ad2ant1 981 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
733, 14, 4, 66, 29, 68, 40, 72, 41lspindp2l 15814 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  (
( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) ) )
7473simprd 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) )
751, 2, 3, 13, 14, 4, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 28, 29, 30, 32, 34, 42, 63, 65, 71, 74mapdh8d 31103 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  (
I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  T >. ) )
7675rexlimdv3a 2640 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  V  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  T >. ) ) )
7712, 76mpd 16 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   E.wrex 2517   _Vcvv 2740    \ cdif 3091    C_ wss 3094   ifcif 3506   {csn 3581   {cpr 3582   <.cotp 3585    e. cmpt 4017   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   1stc1st 6019   2ndc2nd 6020   iota_crio 6228   Basecbs 13075   0gc0g 13327   -gcsg 14292   LModclmod 15554   LSubSpclss 15616   LSpanclspn 15655   LVecclvec 15782   HLchlt 28670   LHypclh 29303   DVecHcdvh 30398  LCDualclcd 30906  mapdcmpd 30944
This theorem is referenced by:  mapdh8g  31106
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-ot 3591  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-of 5977  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-tpos 6133  df-iota 6190  df-undef 6229  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-er 6593  df-map 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-fz 10714  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-0g 13331  df-mre 13415  df-mrc 13416  df-acs 13418  df-poset 14007  df-plt 14019  df-lub 14035  df-glb 14036  df-join 14037  df-meet 14038  df-p0 14072  df-p1 14073  df-lat 14079  df-clat 14141  df-mnd 14294  df-submnd 14343  df-grp 14416  df-minusg 14417  df-sbg 14418  df-subg 14545  df-cntz 14720  df-oppg 14746  df-lsm 14874  df-cmn 15018  df-abl 15019  df-mgp 15253  df-ring 15267  df-ur 15269  df-oppr 15332  df-dvdsr 15350  df-unit 15351  df-invr 15381  df-dvr 15392  df-drng 15441  df-lmod 15556  df-lss 15617  df-lsp 15656  df-lvec 15783  df-lsatoms 28296  df-lshyp 28297  df-lcv 28339  df-lfl 28378  df-lkr 28406  df-ldual 28444  df-oposet 28496  df-ol 28498  df-oml 28499  df-covers 28586  df-ats 28587  df-atl 28618  df-cvlat 28642  df-hlat 28671  df-llines 28817  df-lplanes 28818  df-lvols 28819  df-lines 28820  df-psubsp 28822  df-pmap 28823  df-padd 29115  df-lhyp 29307  df-laut 29308  df-ldil 29423  df-ltrn 29424  df-trl 29478  df-tgrp 30062  df-tendo 30074  df-edring 30076  df-dveca 30322  df-disoa 30349  df-dvech 30399  df-dib 30459  df-dic 30493  df-dih 30549  df-doch 30668  df-djh 30715  df-lcdual 30907  df-mapd 30945
  Copyright terms: Public domain W3C validator