Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8e Unicode version

Theorem mapdh8e 32271
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. Eliminate  w. (Contributed by NM, 10-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh8a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh8a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh8a.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh8a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh8a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh8a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh8a.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh8a.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh8a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh8a.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh8a.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh8a.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh8a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh8e.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh8e.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh8e.eg  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
mapdh8e.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8e.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8e.t  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8e.xy  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdh8e.xt  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8e.yt  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8e.e  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { Y ,  T } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdh8e  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
Distinct variable groups:    x, h,  .-    .0. , h, x    C, h    D, h, x    h, F, x    h, I    h, G, x    h, J, x   
h, M, x    h, N, x    ph, h    R, h, x    x, Q    T, h, x    U, h    h, X, x    h, Y, x   
x, I    h, V
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x)    Q( h)    U( x)    H( x, h)    K( x, h)    V( x)    W( x, h)

Proof of Theorem mapdh8e
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdh8a.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdh8a.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 mapdh8a.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
5 mapdh8a.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 mapdh8e.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
76eldifad 3296 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
8 mapdh8e.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
98eldifad 3296 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
101, 2, 3, 4, 5, 7, 9dvh3dim 31933 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  V  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
11 mapdh8a.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
12 mapdh8a.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
13 mapdh8a.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
14 mapdh8a.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  C
)
15 mapdh8a.r . . . 4  |-  R  =  ( -g `  C
)
16 mapdh8a.q . . . 4  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
17 mapdh8a.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
18 mapdh8a.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
19 mapdh8a.i . . . 4  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
2053ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
21 mapdh8e.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
22213ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  F  e.  D )
23 mapdh8e.mn . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
24233ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `
 { F }
) )
25 mapdh8e.eg . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
26253ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  (
I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
2763ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
2883ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
29 mapdh8e.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
30293ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  T  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
31 mapdh8e.yt . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
32313ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
33 eqid 2408 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
341, 2, 5dvhlmod 31597 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
35343ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  U  e.  LMod )
363, 33, 4, 34, 7, 9lspprcl 16013 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
37363ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  e.  ( LSubSp `  U )
)
38 simp2 958 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  w  e.  V )
39 simp3 959 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
403, 12, 33, 35, 37, 38, 39lssneln0 15987 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  w  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
411, 2, 5dvhlvec 31596 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
4229eldifad 3296 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
43 mapdh8e.xy . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
44 mapdh8e.e . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { Y ,  T } ) )
45 prcom 3846 . . . . . . . . . . 11  |-  { Y ,  T }  =  { T ,  Y }
4645fveq2i 5694 . . . . . . . . . 10  |-  ( N `
 { Y ,  T } )  =  ( N `  { T ,  Y } )
4744, 46syl6eleq 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { T ,  Y } ) )
483, 12, 4, 41, 6, 42, 9, 43, 47lspexch 16160 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
4933, 4, 34, 36, 48lspsnel5a 16031 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
50493ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
5134adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  U  e.  LMod )
5236adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  e.  ( LSubSp `  U )
)
53 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  w  e.  V )
543, 33, 4, 51, 52, 53lspsnel5 16030 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  (
w  e.  ( N `
 { X ,  Y } )  <->  ( N `  { w } ) 
C_  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
5554biimprd 215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  (
( N `  {
w } )  C_  ( N `  { X ,  Y } )  ->  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
5655con3d 127 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  ->  -.  ( N `  {
w } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
57563impia 1150 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  -.  ( N `  { w } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
58 nssne2 3369 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  { T } )  C_  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  ( N `  {
w } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )  ->  ( N `  { T } )  =/=  ( N `  {
w } ) )
5950, 57, 58syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { T } )  =/=  ( N `  { w } ) )
6059necomd 2654 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
61 mapdh8e.xt . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
62613ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
63413ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  U  e.  LVec )
6473ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  X  e.  V )
6593ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  Y  e.  V )
663, 4, 63, 38, 64, 65, 39lspindpi 16163 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
6766simprd 450 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
6867necomd 2654 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } ) )
69433ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
703, 12, 4, 63, 27, 65, 38, 69, 39lspindp2l 16165 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  (
( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) ) )
7170simprd 450 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) )
721, 2, 3, 11, 12, 4, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 40, 60, 62, 68, 71mapdh8d 32270 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  (
I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  T >. ) )
7372rexlimdv3a 2796 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  V  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  T >. ) ) )
7410, 73mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   E.wrex 2671   _Vcvv 2920    \ cdif 3281    C_ wss 3284   ifcif 3703   {csn 3778   {cpr 3779   <.cotp 3782    e. cmpt 4230   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   1stc1st 6310   2ndc2nd 6311   iota_crio 6505   Basecbs 13428   0gc0g 13682   -gcsg 14647   LModclmod 15909   LSubSpclss 15967   LSpanclspn 16006   LVecclvec 16133   HLchlt 29837   LHypclh 30470   DVecHcdvh 31565  LCDualclcd 32073  mapdcmpd 32111
This theorem is referenced by:  mapdh8g  32273
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-ot 3788  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6442  df-undef 6506  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-0g 13686  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-poset 14362  df-plt 14374  df-lub 14390  df-glb 14391  df-join 14392  df-meet 14393  df-p0 14427  df-p1 14428  df-lat 14434  df-clat 14496  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-sbg 14773  df-subg 14900  df-cntz 15075  df-oppg 15101  df-lsm 15229  df-cmn 15373  df-abl 15374  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-ur 15624  df-oppr 15687  df-dvdsr 15705  df-unit 15706  df-invr 15736  df-dvr 15747  df-drng 15796  df-lmod 15911  df-lss 15968  df-lsp 16007  df-lvec 16134  df-lsatoms 29463  df-lshyp 29464  df-lcv 29506  df-lfl 29545  df-lkr 29573  df-ldual 29611  df-oposet 29663  df-ol 29665  df-oml 29666  df-covers 29753  df-ats 29754  df-atl 29785  df-cvlat 29809  df-hlat 29838  df-llines 29984  df-lplanes 29985  df-lvols 29986  df-lines 29987  df-psubsp 29989  df-pmap 29990  df-padd 30282  df-lhyp 30474  df-laut 30475  df-ldil 30590  df-ltrn 30591  df-trl 30645  df-tgrp 31229  df-tendo 31241  df-edring 31243  df-dveca 31489  df-disoa 31516  df-dvech 31566  df-dib 31626  df-dic 31660  df-dih 31716  df-doch 31835  df-djh 31882  df-lcdual 32074  df-mapd 32112
  Copyright terms: Public domain W3C validator