Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8i Structured version   Unicode version

Theorem mapdh8i 32759
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 11-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh8a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh8a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh8a.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh8a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh8a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh8a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh8a.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh8a.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh8a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh8a.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh8a.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh8a.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh8a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh8h.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh8h.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh8i.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8i.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8i.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8i.xy  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdh8i.xz  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
mapdh8i.yt  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8i.zt  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8i.t  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8i.xt  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdh8i  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) ,  T >. )  =  ( I `
 <. Z ,  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ,  T >. )
)
Distinct variable groups:    x, h,  .-    .0. , h, x    C, h    D, h, x    h, F, x    h, I    h, J, x    h, M, x   
h, N, x    ph, h    R, h, x    x, Q    T, h, x    U, h   
h, X, x    h, Y, x    h, Z, x   
x, I    h, V
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x)    Q( h)    U( x)    H( x, h)    K( x, h)    V( x)    W( x, h)

Proof of Theorem mapdh8i
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdh8a.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdh8a.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 mapdh8a.s . . 3  |-  .-  =  ( -g `  U )
5 mapdh8a.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
6 mapdh8a.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 mapdh8a.c . . 3  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 mapdh8a.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  C
)
9 mapdh8a.r . . 3  |-  R  =  ( -g `  C
)
10 mapdh8a.q . . 3  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
11 mapdh8a.j . . 3  |-  J  =  ( LSpan `  C )
12 mapdh8a.m . . 3  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
13 mapdh8a.i . . 3  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
14 mapdh8a.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15 mapdh8h.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
16 mapdh8h.mn . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
17 eqidd 2444 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  Y >. ) )
18 mapdh8i.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
19 mapdh8i.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
20 mapdh8i.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21 mapdh8i.xy . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
22 mapdh8i.xt . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
23 mapdh8i.yt . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23mapdh8g 32758 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
25 eqidd 2444 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  Z >. ) )
26 mapdh8i.z . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
27 mapdh8i.xz . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
28 mapdh8i.zt . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { T } ) )
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 25, 18, 26, 20, 27, 22, 28mapdh8g 32758 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Z ,  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
3024, 29eqtr4d 2478 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) ,  T >. )  =  ( I `
 <. Z ,  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ,  T >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1654    e. wcel 1728    =/= wne 2606   _Vcvv 2965    \ cdif 3306   ifcif 3767   {csn 3843   <.cotp 3847    e. cmpt 4297   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   1stc1st 6383   2ndc2nd 6384   iota_crio 6578   Basecbs 13507   0gc0g 13761   -gcsg 14726   LSpanclspn 16085   HLchlt 30322   LHypclh 30955   DVecHcdvh 32050  LCDualclcd 32558  mapdcmpd 32596
This theorem is referenced by:  mapdh8j  32760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-ot 3853  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-iin 4125  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-of 6341  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-tpos 6515  df-undef 6579  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-oadd 6764  df-er 6941  df-map 7056  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-4 10098  df-5 10099  df-6 10100  df-n0 10260  df-z 10321  df-uz 10527  df-fz 11082  df-struct 13509  df-ndx 13510  df-slot 13511  df-base 13512  df-sets 13513  df-ress 13514  df-plusg 13580  df-mulr 13581  df-sca 13583  df-vsca 13584  df-0g 13765  df-mre 13849  df-mrc 13850  df-acs 13852  df-poset 14441  df-plt 14453  df-lub 14469  df-glb 14470  df-join 14471  df-meet 14472  df-p0 14506  df-p1 14507  df-lat 14513  df-clat 14575  df-mnd 14728  df-submnd 14777  df-grp 14850  df-minusg 14851  df-sbg 14852  df-subg 14979  df-cntz 15154  df-oppg 15180  df-lsm 15308  df-cmn 15452  df-abl 15453  df-mgp 15687  df-rng 15701  df-ur 15703  df-oppr 15766  df-dvdsr 15784  df-unit 15785  df-invr 15815  df-dvr 15826  df-drng 15875  df-lmod 15990  df-lss 16047  df-lsp 16086  df-lvec 16213  df-lsatoms 29948  df-lshyp 29949  df-lcv 29991  df-lfl 30030  df-lkr 30058  df-ldual 30096  df-oposet 30148  df-ol 30150  df-oml 30151  df-covers 30238  df-ats 30239  df-atl 30270  df-cvlat 30294  df-hlat 30323  df-llines 30469  df-lplanes 30470  df-lvols 30471  df-lines 30472  df-psubsp 30474  df-pmap 30475  df-padd 30767  df-lhyp 30959  df-laut 30960  df-ldil 31075  df-ltrn 31076  df-trl 31130  df-tgrp 31714  df-tendo 31726  df-edring 31728  df-dveca 31974  df-disoa 32001  df-dvech 32051  df-dib 32111  df-dic 32145  df-dih 32201  df-doch 32320  df-djh 32367  df-lcdual 32559  df-mapd 32597
  Copyright terms: Public domain W3C validator