Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdin Unicode version

Theorem mapdin 31777
Description: Subspace intersection is preserved by the map defined by df-mapd 31740. Part of property (e) in [Baer] p. 40. (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdin.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdin.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdin.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdin.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
mapdin.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdin.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
mapdin.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
Assertion
Ref Expression
mapdin  |-  ( ph  ->  ( M `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( M `
 X )  i^i  ( M `  Y
) ) )

Proof of Theorem mapdin
StepHypRef Expression
1 inss1 3504 . . . 4  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
2 mapdin.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 mapdin.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 mapdin.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
5 mapdin.m . . . . 5  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
6 mapdin.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
72, 3, 6dvhlmod 31225 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
8 mapdin.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
9 mapdin.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
104lssincl 15968 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  i^i  Y )  e.  S )
117, 8, 9, 10syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  e.  S )
122, 3, 4, 5, 6, 11, 8mapdord 31753 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( M `  X )  <->  ( X  i^i  Y )  C_  X
) )
131, 12mpbiri 225 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( X  i^i  Y ) ) 
C_  ( M `  X ) )
14 inss2 3505 . . . 4  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
152, 3, 4, 5, 6, 11, 9mapdord 31753 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( M `  Y )  <->  ( X  i^i  Y )  C_  Y
) )
1614, 15mpbiri 225 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( X  i^i  Y ) ) 
C_  ( M `  Y ) )
1713, 16ssind 3508 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( X  i^i  Y ) ) 
C_  ( ( M `
 X )  i^i  ( M `  Y
) ) )
18 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( (LCDual `  K ) `  W
)  =  ( (LCDual `  K ) `  W
)
19 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)  =  ( LSubSp `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)
202, 5, 3, 4, 18, 19, 6, 8mapdcl2 31771 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  X
)  e.  ( LSubSp `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) )
212, 5, 18, 19, 6mapdrn2 31766 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  M  =  (
LSubSp `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) )
2220, 21eleqtrrd 2464 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  X
)  e.  ran  M
)
232, 5, 3, 4, 18, 19, 6, 9mapdcl2 31771 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  Y
)  e.  ( LSubSp `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) )
2423, 21eleqtrrd 2464 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  Y
)  e.  ran  M
)
252, 5, 3, 18, 6, 22, 24mapdincl 31776 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
)  e.  ran  M
)
262, 5, 6, 25mapdcnvid2 31772 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) ) )  =  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) )
27 inss1 3504 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) )  C_  ( M `  X )
2826, 27syl6eqss 3341 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) ) )  C_  ( M `  X ) )
292, 18, 6lcdlmod 31707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (LCDual `  K
) `  W )  e.  LMod )
3019lssincl 15968 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (LCDual `  K
) `  W )  e.  LMod  /\  ( M `  X )  e.  (
LSubSp `  ( (LCDual `  K ) `  W
) )  /\  ( M `  Y )  e.  ( LSubSp `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) )  -> 
( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
)  e.  ( LSubSp `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) )
3129, 20, 23, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
)  e.  ( LSubSp `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) )
3231, 21eleqtrrd 2464 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
)  e.  ran  M
)
332, 5, 3, 4, 6, 32mapdcnvcl 31767 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
) )  e.  S
)
342, 3, 4, 5, 6, 33, 8mapdord 31753 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) ) )  C_  ( M `  X )  <->  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y
) ) )  C_  X ) )
3528, 34mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
) )  C_  X
)
362, 5, 6, 32mapdcnvid2 31772 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) ) )  =  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) )
37 inss2 3505 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) )  C_  ( M `  Y )
3836, 37syl6eqss 3341 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) ) )  C_  ( M `  Y ) )
392, 3, 4, 5, 6, 33, 9mapdord 31753 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) ) )  C_  ( M `  Y )  <->  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y
) ) )  C_  Y ) )
4038, 39mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
) )  C_  Y
)
4135, 40ssind 3508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
) )  C_  ( X  i^i  Y ) )
422, 3, 4, 5, 6, 33, 11mapdord 31753 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) ) )  C_  ( M `  ( X  i^i  Y
) )  <->  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y
) ) )  C_  ( X  i^i  Y ) ) )
4341, 42mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) ) )  C_  ( M `  ( X  i^i  Y
) ) )
4426, 43eqsstr3d 3326 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
)  C_  ( M `  ( X  i^i  Y
) ) )
4517, 44eqssd 3308 1  |-  ( ph  ->  ( M `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( M `
 X )  i^i  ( M `  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    i^i cin 3262    C_ wss 3263   `'ccnv 4817   ran crn 4819   ` cfv 5394   LModclmod 15877   LSubSpclss 15935   HLchlt 29465   LHypclh 30098   DVecHcdvh 31193  LCDualclcd 31701  mapdcmpd 31739
This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  31846  mapdh6lem1N  31848  mapdh6lem2N  31849  hdmap1l6lem1  31923  hdmap1l6lem2  31924
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-tpos 6415  df-undef 6479  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-0g 13654  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-poset 14330  df-plt 14342  df-lub 14358  df-glb 14359  df-join 14360  df-meet 14361  df-p0 14395  df-p1 14396  df-lat 14402  df-clat 14464  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-subg 14868  df-cntz 15043  df-oppg 15069  df-lsm 15197  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-oppr 15655  df-dvdsr 15673  df-unit 15674  df-invr 15704  df-dvr 15715  df-drng 15764  df-lmod 15879  df-lss 15936  df-lsp 15975  df-lvec 16102  df-lsatoms 29091  df-lshyp 29092  df-lcv 29134  df-lfl 29173  df-lkr 29201  df-ldual 29239  df-oposet 29291  df-ol 29293  df-oml 29294  df-covers 29381  df-ats 29382  df-atl 29413  df-cvlat 29437  df-hlat 29466  df-llines 29612  df-lplanes 29613  df-lvols 29614  df-lines 29615  df-psubsp 29617  df-pmap 29618  df-padd 29910  df-lhyp 30102  df-laut 30103  df-ldil 30218  df-ltrn 30219  df-trl 30273  df-tgrp 30857  df-tendo 30869  df-edring 30871  df-dveca 31117  df-disoa 31144  df-dvech 31194  df-dib 31254  df-dic 31288  df-dih 31344  df-doch 31463  df-djh 31510  df-lcdual 31702  df-mapd 31740
  Copyright terms: Public domain W3C validator