Theorem mapdom1 4485

Description: Order-preserving property of set exponentiation. Theorem 6L(c) of [Enderton] p. 149.

Hypotheses

Ref	Expression
mapdom1.1	|- A e. V
mapdom1.2	|- B e. V
mapdom1.3	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
mapdom1	|- (A ~<_ B -> (A ^m C) ~<_ (B ^m C))

Proof of Theorem mapdom1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdom1.2	. . 3 |- B e. V
2	1	domen 4374	. 2 |- (A ~<_ B <-> E.x(A ~~ x /\ x (_ B))
3		endomtr 4414	. . . 4 |- (((A ^m C) ~~ (x ^m C) /\ (x ^m C) ~<_ (B ^m C)) -> (A ^m C) ~<_ (B ^m C))
4		mapdom1.3	. . . . . 6 |- C e. V
5	4	enref 4385	. . . . 5 |- C ~~ C
6		mapdom1.1	. . . . . 6 |- A e. V
7		visset 1811	. . . . . 6 |- x e. V
8	6, 7, 4, 4	mapen 4484	. . . . 5 |- ((A ~~ x /\ C ~~ C) -> (A ^m C) ~~ (x ^m C))
9	5, 8	mpan2 695	. . . 4 |- (A ~~ x -> (A ^m C) ~~ (x ^m C))
10	1, 4	mapss 4343	. . . . 5 |- (x (_ B -> (x ^m C) (_ (B ^m C))
11		oprex 3980	. . . . . 6 |- (x ^m C) e. V
12		ssdomg 4402	. . . . . 6 |- ((x ^m C) e. V -> ((x ^m C) (_ (B ^m C) -> (x ^m C) ~<_ (B ^m C)))
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((x ^m C) (_ (B ^m C) -> (x ^m C) ~<_ (B ^m C))
14	10, 13	syl 10	. . . 4 |- (x (_ B -> (x ^m C) ~<_ (B ^m C))
15	3, 9, 14	syl2an 454	. . 3 |- ((A ~~ x /\ x (_ B) -> (A ^m C) ~<_ (B ^m C))
16	15	19.23aiv 1295	. 2 |- (E.x(A ~~ x /\ x (_ B) -> (A ^m C) ~<_ (B ^m C))
17	2, 16	sylbi 199	1 |- (A ~<_ B -> (A ^m C) ~<_ (B ^m C))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 957  E.wex 979  Vcvv 1809   (_ wss 2045   class class class wbr 2616  (class class class)co 3960   ^m cm 4319   ~~ cen 4361   ~<_ cdom 4362

This theorem is referenced by:  infmap1 7552

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-map 4321  df-en 4364  df-dom 4365

Copyright terms: Public domain