Theorem mapdom2lem 4473

Description: Lemma for mapdom2 4474.

Hypotheses

Ref	Expression
mapdom1.1	|- A e. V
mapdom1.2	|- B e. V
mapdom1.3	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
mapdom2lem	|- (x e. (C ^m z) -> (x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/))

Distinct variable groups:   x,z,w,A   x,B,z,w   x,C,z,w

Proof of Theorem mapdom2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdom1.3	. . . . . . 7 |- C e. V
2		visset 1804	. . . . . . 7 |- z e. V
3	1, 2	elmap 4318	. . . . . 6 |- (x e. (C ^m z) <-> x:z-->C)
4		fdm 3617	. . . . . 6 |- (x:z-->C -> dom x = z)
5	3, 4	sylbi 199	. . . . 5 |- (x e. (C ^m z) -> dom x = z)
6		visset 1804	. . . . . . . 8 |- w e. V
7	6	fconst 3643	. . . . . . 7 |- ((B \ z) X. {w}):(B \ z)-->{w}
8		fdm 3617	. . . . . . 7 |- (((B \ z) X. {w}):(B \ z)-->{w} -> dom ((B \ z) X. {w}) = (B \ z))
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . . 6 |- dom ((B \ z) X. {w}) = (B \ z)
10	9	a1i 8	. . . . 5 |- (x e. (C ^m z) -> dom ((B \ z) X. {w}) = (B \ z))
11	5, 10	ineq12d 2208	. . . 4 |- (x e. (C ^m z) -> (dom x i^i dom ((B \ z) X. {w})) = (z i^i (B \ z)))
12		difdisj 2327	. . . 4 |- (z i^i (B \ z)) = (/)
13	11, 12	syl6eq 1515	. . 3 |- (x e. (C ^m z) -> (dom x i^i dom ((B \ z) X. {w})) = (/))
14		dmin 3307	. . . . 5 |- dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) (_ (dom x i^i dom ((B \ z) X. {w}))
15		sseq2 2073	. . . . 5 |- ((dom x i^i dom ((B \ z) X. {w})) = (/) -> (dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) (_ (dom x i^i dom ((B \ z) X. {w})) <-> dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) (_ (/)))
16	14, 15	mpbii 193	. . . 4 |- ((dom x i^i dom ((B \ z) X. {w})) = (/) -> dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) (_ (/))
17		ss0 2293	. . . 4 |- (dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) (_ (/) -> dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/))
18	16, 17	syl 10	. . 3 |- ((dom x i^i dom ((B \ z) X. {w})) = (/) -> dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/))
19	13, 18	syl 10	. 2 |- (x e. (C ^m z) -> dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/))
20		relxp 3245	. . . . 5 |- Rel ((B \ z) X. {w})
21		relin1 3252	. . . . 5 |- (Rel ((B \ z) X. {w}) -> Rel (((B \ z) X. {w}) i^i x))
22	20, 21	ax-mp 7	. . . 4 |- Rel (((B \ z) X. {w}) i^i x)
23		incom 2198	. . . . 5 |- (((B \ z) X. {w}) i^i x) = (x i^i ((B \ z) X. {w}))
24	23	releqi 3234	. . . 4 |- (Rel (((B \ z) X. {w}) i^i x) <-> Rel (x i^i ((B \ z) X. {w})))
25	22, 24	mpbi 189	. . 3 |- Rel (x i^i ((B \ z) X. {w}))
26		reldm0 3320	. . 3 |- (Rel (x i^i ((B \ z) X. {w})) -> ((x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/) <-> dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/)))
27	25, 26	ax-mp 7	. 2 |- ((x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/) <-> dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/))
28	19, 27	sylibr 200	1 |- (x e. (C ^m z) -> (x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802   \ cdif 2034   i^i cin 2036   (_ wss 2037  (/)c0 2270  {csn 2399   X. cxp 3158  dom cdm 3160  Rel wrel 3165  -->wf 3168  (class class class)co 3948   ^m cm 4306

This theorem is referenced by:  mapdom2 4474

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-map 4308

Copyright terms: Public domain