Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdord Unicode version

Theorem mapdord 30958
Description: Ordering property of the map defined by df-mapd 30945. Property (b) of [Baer] p. 40. (Contributed by NM, 27-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdord.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdord.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdord.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
mapdord.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdord.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdord.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
mapdord.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
Assertion
Ref Expression
mapdord  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  C_  ( M `  Y )  <->  X 
C_  Y ) )

Proof of Theorem mapdord
StepHypRef Expression
1 mapdord.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdord.u . 2  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdord.s . 2  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
4 mapdord.m . 2  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
5 mapdord.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 mapdord.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
7 mapdord.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
8 eqid 2256 . 2  |-  ( ( ocH `  K ) `
 W )  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
9 eqid 2256 . 2  |-  (LSAtoms `  U
)  =  (LSAtoms `  U
)
10 eqid 2256 . 2  |-  (LFnl `  U )  =  (LFnl `  U )
11 eqid 2256 . 2  |-  (LSHyp `  U )  =  (LSHyp `  U )
12 eqid 2256 . 2  |-  (LKer `  U )  =  (LKer `  U )
13 eqid 2256 . 2  |-  { g  e.  (LFnl `  U
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  g
) ) )  e.  (LSHyp `  U ) }  =  { g  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  g
) ) )  e.  (LSHyp `  U ) }
14 eqid 2256 . 2  |-  { g  e.  (LFnl `  U
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  g
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  g ) }  =  { g  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  g
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  g ) }
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14mapdordlem2 30957 1  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  C_  ( M `  Y )  <->  X 
C_  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   {crab 2519    C_ wss 3094   ` cfv 4638   LSubSpclss 15616  LSAtomsclsa 28294  LSHypclsh 28295  LFnlclfn 28377  LKerclk 28405   HLchlt 28670   LHypclh 29303   DVecHcdvh 30398   ocHcoch 30667  mapdcmpd 30944
This theorem is referenced by:  mapd11  30959  mapdsord  30975  mapdcnvordN  30978  mapdin  30982  mapdlsm  30984  mapdindp  30991  mapdpglem1  30992  mapdpglem8  30999  mapdpglem13  31004  hgmaprnlem2N  31220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-tpos 6133  df-iota 6190  df-undef 6229  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-er 6593  df-map 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-fz 10714  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-0g 13331  df-poset 14007  df-plt 14019  df-lub 14035  df-glb 14036  df-join 14037  df-meet 14038  df-p0 14072  df-p1 14073  df-lat 14079  df-clat 14141  df-mnd 14294  df-submnd 14343  df-grp 14416  df-minusg 14417  df-sbg 14418  df-subg 14545  df-cntz 14720  df-lsm 14874  df-cmn 15018  df-abl 15019  df-mgp 15253  df-ring 15267  df-ur 15269  df-oppr 15332  df-dvdsr 15350  df-unit 15351  df-invr 15381  df-dvr 15392  df-drng 15441  df-lmod 15556  df-lss 15617  df-lsp 15656  df-lvec 15783  df-lsatoms 28296  df-lshyp 28297  df-lfl 28378  df-lkr 28406  df-oposet 28496  df-ol 28498  df-oml 28499  df-covers 28586  df-ats 28587  df-atl 28618  df-cvlat 28642  df-hlat 28671  df-llines 28817  df-lplanes 28818  df-lvols 28819  df-lines 28820  df-psubsp 28822  df-pmap 28823  df-padd 29115  df-lhyp 29307  df-laut 29308  df-ldil 29423  df-ltrn 29424  df-trl 29478  df-tgrp 30062  df-tendo 30074  df-edring 30076  df-dveca 30322  df-disoa 30349  df-dvech 30399  df-dib 30459  df-dic 30493  df-dih 30549  df-doch 30668  df-djh 30715  df-mapd 30945
  Copyright terms: Public domain W3C validator