Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpg Unicode version

Theorem mapdpg 32193
Description: Part 1 of proof of the first fundamental theorem of projective geometry. Part (1) in [Baer] p. 44. Our notation corresponds to Baer's as follows:  M for *,  N `  { } for F(),  J `  { } for G(),  X for x,  G for x',  Y for y,  h for y'. TODO: Rename variables per mapdhval 32211. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpg.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpg.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpg.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpg.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpg.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpg.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdpg.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpg.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpg.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpg.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpg.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpg.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpg.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdpg.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdpg.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpg.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdpg.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdpg  |-  ( ph  ->  E! h  e.  F  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R h ) } ) ) )
Distinct variable groups:    C, h    h, F    h, G    h, J    h, M    h, N    R, h    .- , h    U, h    h, X    h, Y    ph, h
Allowed substitution hints:    H( h)    K( h)    V( h)    W( h)    .0. (
h)

Proof of Theorem mapdpg
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdpg.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdpg.m . . 3  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
3 mapdpg.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 mapdpg.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 mapdpg.s . . 3  |-  .-  =  ( -g `  U )
6 mapdpg.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
7 mapdpg.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
8 mapdpg.c . . 3  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
9 mapdpg.f . . 3  |-  F  =  ( Base `  C
)
10 mapdpg.r . . 3  |-  R  =  ( -g `  C
)
11 mapdpg.j . . 3  |-  J  =  ( LSpan `  C )
12 mapdpg.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 mapdpg.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
14 mapdpg.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
15 mapdpg.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
16 mapdpg.ne . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
17 mapdpg.e . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17mapdpglem24 32191 . 2  |-  ( ph  ->  E. h  e.  F  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R h ) } ) ) )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17mapdpglem32 32192 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  F  /\  i  e.  F )  /\  (
( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R h ) } ) )  /\  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
i } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R i ) } ) ) ) )  ->  h  =  i )
20193exp 1152 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( h  e.  F  /\  i  e.  F )  ->  (
( ( ( M `
 ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { h } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  {
( G R h ) } ) )  /\  ( ( M `
 ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { i } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  {
( G R i ) } ) ) )  ->  h  =  i ) ) )
2120ralrimivv 2761 . 2  |-  ( ph  ->  A. h  e.  F  A. i  e.  F  ( ( ( ( M `  ( N `
 { Y }
) )  =  ( J `  { h } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( G R h ) } ) )  /\  (
( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
i } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R i ) } ) ) )  ->  h  =  i ) )
22 sneq 3789 . . . . . 6  |-  ( h  =  i  ->  { h }  =  { i } )
2322fveq2d 5695 . . . . 5  |-  ( h  =  i  ->  ( J `  { h } )  =  ( J `  { i } ) )
2423eqeq2d 2419 . . . 4  |-  ( h  =  i  ->  (
( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  <->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
i } ) ) )
25 oveq2 6052 . . . . . . 7  |-  ( h  =  i  ->  ( G R h )  =  ( G R i ) )
2625sneqd 3791 . . . . . 6  |-  ( h  =  i  ->  { ( G R h ) }  =  { ( G R i ) } )
2726fveq2d 5695 . . . . 5  |-  ( h  =  i  ->  ( J `  { ( G R h ) } )  =  ( J `
 { ( G R i ) } ) )
2827eqeq2d 2419 . . . 4  |-  ( h  =  i  ->  (
( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R h ) } )  <->  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { ( G R i ) } ) ) )
2924, 28anbi12d 692 . . 3  |-  ( h  =  i  ->  (
( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R h ) } ) )  <->  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `
 { i } )  /\  ( M `
 ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( G R i ) } ) ) ) )
3029reu4 3092 . 2  |-  ( E! h  e.  F  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R h ) } ) )  <->  ( E. h  e.  F  (
( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R h ) } ) )  /\  A. h  e.  F  A. i  e.  F  (
( ( ( M `
 ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { h } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  {
( G R h ) } ) )  /\  ( ( M `
 ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { i } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  {
( G R i ) } ) ) )  ->  h  =  i ) ) )
3118, 21, 30sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  E! h  e.  F  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R h ) } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   A.wral 2670   E.wrex 2671   E!wreu 2672    \ cdif 3281   {csn 3778   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   Basecbs 13428   0gc0g 13682   -gcsg 14647   LSpanclspn 16006   HLchlt 29837   LHypclh 30470   DVecHcdvh 31565  LCDualclcd 32073  mapdcmpd 32111
This theorem is referenced by:  mapdhcl  32214  mapdheq  32215  hdmap1eq  32289
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6442  df-undef 6506  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-0g 13686  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-poset 14362  df-plt 14374  df-lub 14390  df-glb 14391  df-join 14392  df-meet 14393  df-p0 14427  df-p1 14428  df-lat 14434  df-clat 14496  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-sbg 14773  df-subg 14900  df-cntz 15075  df-oppg 15101  df-lsm 15229  df-cmn 15373  df-abl 15374  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-ur 15624  df-oppr 15687  df-dvdsr 15705  df-unit 15706  df-invr 15736  df-dvr 15747  df-drng 15796  df-lmod 15911  df-lss 15968  df-lsp 16007  df-lvec 16134  df-lsatoms 29463  df-lshyp 29464  df-lcv 29506  df-lfl 29545  df-lkr 29573  df-ldual 29611  df-oposet 29663  df-ol 29665  df-oml 29666  df-covers 29753  df-ats 29754  df-atl 29785  df-cvlat 29809  df-hlat 29838  df-llines 29984  df-lplanes 29985  df-lvols 29986  df-lines 29987  df-psubsp 29989  df-pmap 29990  df-padd 30282  df-lhyp 30474  df-laut 30475  df-ldil 30590  df-ltrn 30591  df-trl 30645  df-tgrp 31229  df-tendo 31241  df-edring 31243  df-dveca 31489  df-disoa 31516  df-dvech 31566  df-dib 31626  df-dic 31660  df-dih 31716  df-doch 31835  df-djh 31882  df-lcdual 32074  df-mapd 32112
  Copyright terms: Public domain W3C validator