Theorem mapen 4638

Description: Two set exponentiations are equinumerous when their bases and exponents are equinumerous. Theorem 6H(c) of [Enderton] p. 139.

Hypotheses

Ref	Expression
mapen.1	|- A e. V
mapen.2	|- B e. V
mapen.3	|- C e. V
mapen.4	|- D e. V

Assertion

Ref	Expression
mapen	|- ((A ~~ B /\ C ~~ D) -> (A ^m C) ~~ (B ^m D))

Proof of Theorem mapen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapen.1	. . . . . . . 8 |- A e. V
2		mapen.2	. . . . . . . 8 |- B e. V
3		mapen.3	. . . . . . . 8 |- C e. V
4		mapen.4	. . . . . . . 8 |- D e. V
5		eqid 1518	. . . . . . . 8 |- {<.x, y>. | (x e. (A ^m C) /\ y = ((f o. x) o. `'g))} = {<.x, y>. | (x e. (A ^m C) /\ y = ((f o. x) o. `'g))}
6	1, 2, 3, 4, 5	mapenlem2 4637	. . . . . . 7 |- ((f:A-1-1-onto->B /\ g:C-1-1-onto->D) -> {<.x, y>. | (x e. (A ^m C) /\ y = ((f o. x) o. `'g))}:(A ^m C)-1-1-onto->(B ^m D))
7		oprex 4041	. . . . . . . 8 |- (A ^m C) e. V
8	7	f1oen 4539	. . . . . . 7 |- ({<.x, y>. | (x e. (A ^m C) /\ y = ((f o. x) o. `'g))}:(A ^m C)-1-1-onto->(B ^m D) -> (A ^m C) ~~ (B ^m D))
9	6, 8	syl 10	. . . . . 6 |- ((f:A-1-1-onto->B /\ g:C-1-1-onto->D) -> (A ^m C) ~~ (B ^m D))
10	9	ex 371	. . . . 5 |- (f:A-1-1-onto->B -> (g:C-1-1-onto->D -> (A ^m C) ~~ (B ^m D)))
11	10	19.23aiv 1333	. . . 4 |- (E.f f:A-1-1-onto->B -> (g:C-1-1-onto->D -> (A ^m C) ~~ (B ^m D)))
12	11	19.23adv 1251	. . 3 |- (E.f f:A-1-1-onto->B -> (E.g g:C-1-1-onto->D -> (A ^m C) ~~ (B ^m D)))
13	12	imp 348	. 2 |- ((E.f f:A-1-1-onto->B /\ E.g g:C-1-1-onto->D) -> (A ^m C) ~~ (B ^m D))
14	2	bren 4518	. 2 |- (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B)
15	4	bren 4518	. 2 |- (C ~~ D <-> E.g g:C-1-1-onto->D)
16	13, 14, 15	syl2anb 457	1 |- ((A ~~ B /\ C ~~ D) -> (A ^m C) ~~ (B ^m D))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  E.wex 1016  Vcvv 1857   class class class wbr 2692  {copab 2740  `'ccnv 3250   o. ccom 3255  -1-1-onto->wf1o 3262  (class class class)co 4021   ^m cm 4463   ~~ cen 4505

This theorem is referenced by:  mapdom1 4639  mapdom2 4641  pwen 4650  mapcdaen 5084  infmap1 7785

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-id 2913  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-map 4465  df-en 4509

Copyright terms: Public domain