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Theorem mapen 6958
Description: Two set exponentiations are equinumerous when their bases and exponents are equinumerous. Theorem 6H(c) of [Enderton] p. 139. (Contributed by NM, 16-Dec-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapen  |-  ( ( A  ~~  B  /\  C  ~~  D )  -> 
( A  ^m  C
)  ~~  ( B  ^m  D ) )

Proof of Theorem mapen
StepHypRef Expression
1 bren 6804 . 2  |-  ( A 
~~  B  <->  E. f 
f : A -1-1-onto-> B )
2 bren 6804 . 2  |-  ( C 
~~  D  <->  E. g 
g : C -1-1-onto-> D )
3 eeanv 2058 . . 3  |-  ( E. f E. g ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  <->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  /\  E. g  g : C -1-1-onto-> D ) )
4 ovex 5782 . . . . . 6  |-  ( A  ^m  C )  e. 
_V
54a1i 12 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  ( A  ^m  C )  e. 
_V )
6 ovex 5782 . . . . . 6  |-  ( B  ^m  D )  e. 
_V
76a1i 12 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  ( B  ^m  D )  e. 
_V )
8 elmapi 6725 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( A  ^m  C )  ->  x : C --> A )
9 f1of 5375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A
--> B )
109adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  f : A --> B )
11 fco 5301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A --> B  /\  x : C --> A )  ->  ( f  o.  x ) : C --> B )
1210, 11sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  x : C --> A )  ->  (
f  o.  x ) : C --> B )
13 f1ocnv 5388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : C -1-1-onto-> D  ->  `' g : D -1-1-onto-> C )
1413adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  `' g : D -1-1-onto-> C )
15 f1of 5375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' g : D -1-1-onto-> C  ->  `' g : D --> C )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  `' g : D --> C )
1716adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  x : C --> A )  ->  `' g : D --> C )
18 fco 5301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  o.  x
) : C --> B  /\  `' g : D --> C )  ->  (
( f  o.  x
)  o.  `' g ) : D --> B )
1912, 17, 18syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  x : C --> A )  ->  (
( f  o.  x
)  o.  `' g ) : D --> B )
2019ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
x : C --> A  -> 
( ( f  o.  x )  o.  `' g ) : D --> B ) )
218, 20syl5 30 . . . . . 6  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
x  e.  ( A  ^m  C )  -> 
( ( f  o.  x )  o.  `' g ) : D --> B ) )
22 f1ofo 5382 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A -onto-> B )
2322adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  f : A -onto-> B )
24 forn 5357 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A -onto-> B  ->  ran  f  =  B
)
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  ran  f  =  B )
26 vex 2743 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
2726rnex 4895 . . . . . . . 8  |-  ran  f  e.  _V
2825, 27syl6eqelr 2345 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  B  e.  _V )
29 f1ofo 5382 . . . . . . . . . 10  |-  ( g : C -1-1-onto-> D  ->  g : C -onto-> D )
3029adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  g : C -onto-> D )
31 forn 5357 . . . . . . . . 9  |-  ( g : C -onto-> D  ->  ran  g  =  D
)
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  ran  g  =  D )
33 vex 2743 . . . . . . . . 9  |-  g  e. 
_V
3433rnex 4895 . . . . . . . 8  |-  ran  g  e.  _V
3532, 34syl6eqelr 2345 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  D  e.  _V )
36 elmapg 6718 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  _V  /\  D  e.  _V )  ->  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  e.  ( B  ^m  D
)  <->  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) : D --> B ) )
3728, 35, 36syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
( ( f  o.  x )  o.  `' g )  e.  ( B  ^m  D )  <-> 
( ( f  o.  x )  o.  `' g ) : D --> B ) )
3821, 37sylibrd 227 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
x  e.  ( A  ^m  C )  -> 
( ( f  o.  x )  o.  `' g )  e.  ( B  ^m  D ) ) )
39 elmapi 6725 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( B  ^m  D )  ->  y : D --> B )
40 f1ocnv 5388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  `' f : B -1-1-onto-> A )
4140adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  `' f : B -1-1-onto-> A )
42 f1of 5375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' f : B -1-1-onto-> A  ->  `' f : B --> A )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  `' f : B --> A )
4443adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  y : D --> B )  ->  `' f : B --> A )
45 id 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( y : D --> B  -> 
y : D --> B )
46 f1of 5375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : C -1-1-onto-> D  ->  g : C
--> D )
4746adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  g : C --> D )
48 fco 5301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y : D --> B  /\  g : C --> D )  ->  ( y  o.  g ) : C --> B )
4945, 47, 48syl2anr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  y : D --> B )  ->  (
y  o.  g ) : C --> B )
50 fco 5301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' f : B --> A  /\  ( y  o.  g ) : C --> B )  ->  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) : C --> A )
5144, 49, 50syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  y : D --> B )  ->  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) : C --> A )
5251ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
y : D --> B  -> 
( `' f  o.  ( y  o.  g
) ) : C --> A ) )
5339, 52syl5 30 . . . . . 6  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
y  e.  ( B  ^m  D )  -> 
( `' f  o.  ( y  o.  g
) ) : C --> A ) )
54 f1odm 5379 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  dom  f  =  A )
5554adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  dom  f  =  A )
5626dmex 4894 . . . . . . . 8  |-  dom  f  e.  _V
5755, 56syl6eqelr 2345 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  A  e.  _V )
58 f1odm 5379 . . . . . . . . 9  |-  ( g : C -1-1-onto-> D  ->  dom  g  =  C )
5958adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  dom  g  =  C )
6033dmex 4894 . . . . . . . 8  |-  dom  g  e.  _V
6159, 60syl6eqelr 2345 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  C  e.  _V )
62 elmapg 6718 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( `' f  o.  ( y  o.  g ) )  e.  ( A  ^m  C
)  <->  ( `' f  o.  ( y  o.  g ) ) : C --> A ) )
6357, 61, 62syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
( `' f  o.  ( y  o.  g
) )  e.  ( A  ^m  C )  <-> 
( `' f  o.  ( y  o.  g
) ) : C --> A ) )
6453, 63sylibrd 227 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
y  e.  ( B  ^m  D )  -> 
( `' f  o.  ( y  o.  g
) )  e.  ( A  ^m  C ) ) )
65 coass 5143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  o.  `' f )  o.  ( y  o.  g ) )  =  ( f  o.  ( `' f  o.  ( y  o.  g
) ) )
66 f1ococnv2 5403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  ( f  o.  `' f )  =  (  _I  |`  B ) )
6766ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( f  o.  `' f )  =  (  _I  |`  B ) )
6867coeq1d 4798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  `' f )  o.  ( y  o.  g ) )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  ( y  o.  g ) ) )
6949adantrl 699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( y  o.  g ) : C --> B )
70 fcoi2 5319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  o.  g ) : C --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  ( y  o.  g ) )  =  ( y  o.  g
) )
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( (  _I  |`  B )  o.  (
y  o.  g ) )  =  ( y  o.  g ) )
7268, 71eqtrd 2288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  `' f )  o.  ( y  o.  g ) )  =  ( y  o.  g
) )
7365, 72syl5eqr 2302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( f  o.  ( `' f  o.  ( y  o.  g
) ) )  =  ( y  o.  g
) )
7473eqeq2d 2267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  =  ( f  o.  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) )  <->  ( f  o.  x )  =  ( y  o.  g ) ) )
75 coass 5143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  o.  x
)  o.  `' g )  o.  g )  =  ( ( f  o.  x )  o.  ( `' g  o.  g ) )
76 f1ococnv1 5405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : C -1-1-onto-> D  ->  ( `' g  o.  g )  =  (  _I  |`  C ) )
7776ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( `' g  o.  g )  =  (  _I  |`  C ) )
7877coeq2d 4799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  o.  ( `' g  o.  g ) )  =  ( ( f  o.  x )  o.  (  _I  |`  C ) ) )
7912adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( f  o.  x ) : C --> B )
80 fcoi1 5318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  o.  x ) : C --> B  -> 
( ( f  o.  x )  o.  (  _I  |`  C ) )  =  ( f  o.  x ) )
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  o.  (  _I  |`  C ) )  =  ( f  o.  x ) )
8278, 81eqtrd 2288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  o.  ( `' g  o.  g ) )  =  ( f  o.  x
) )
8375, 82syl5eq 2300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  o.  g )  =  ( f  o.  x
) )
8483eqeq2d 2267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( y  o.  g )  =  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  o.  g )  <->  ( y  o.  g )  =  ( f  o.  x ) ) )
85 eqcom 2258 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  o.  g )  =  ( f  o.  x )  <->  ( f  o.  x )  =  ( y  o.  g ) )
8684, 85syl6bb 254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( y  o.  g )  =  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  o.  g )  <->  ( f  o.  x )  =  ( y  o.  g ) ) )
8774, 86bitr4d 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  =  ( f  o.  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) )  <->  ( y  o.  g )  =  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  o.  g
) ) )
88 f1of1 5374 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A -1-1-> B )
8988ad2antrr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  f : A -1-1-> B )
90 simprl 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  x : C --> A )
9151adantrl 699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( `' f  o.  ( y  o.  g ) ) : C --> A )
92 cocan1 5700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  x : C --> A  /\  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) : C --> A )  ->  ( ( f  o.  x )  =  ( f  o.  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) )  <->  x  =  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) ) )
9389, 90, 91, 92syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  =  ( f  o.  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) )  <->  x  =  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) ) )
9430adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  g : C -onto-> D )
95 ffn 5292 . . . . . . . . . 10  |-  ( y : D --> B  -> 
y  Fn  D )
9695ad2antll 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  y  Fn  D
)
9719adantrr 700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) : D --> B )
98 ffn 5292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  o.  x
)  o.  `' g ) : D --> B  -> 
( ( f  o.  x )  o.  `' g )  Fn  D
)
9997, 98syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  Fn  D )
100 cocan2 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : C -onto-> D  /\  y  Fn  D  /\  ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  Fn  D
)  ->  ( (
y  o.  g )  =  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  o.  g )  <->  y  =  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) ) )
10194, 96, 99, 100syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( y  o.  g )  =  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  o.  g )  <->  y  =  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) ) )
10287, 93, 1013bitr3d 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( x  =  ( `' f  o.  ( y  o.  g
) )  <->  y  =  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) ) )
103102ex 425 . . . . . 6  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
( x : C --> A  /\  y : D --> B )  ->  (
x  =  ( `' f  o.  ( y  o.  g ) )  <-> 
y  =  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) ) ) )
1048, 39, 103syl2ani 640 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
( x  e.  ( A  ^m  C )  /\  y  e.  ( B  ^m  D ) )  ->  ( x  =  ( `' f  o.  ( y  o.  g ) )  <->  y  =  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) ) ) )
1055, 7, 38, 64, 104en3d 6831 . . . 4  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  ( A  ^m  C )  ~~  ( B  ^m  D ) )
106105exlimivv 2026 . . 3  |-  ( E. f E. g ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  ( A  ^m  C )  ~~  ( B  ^m  D ) )
1073, 106sylbir 206 . 2  |-  ( ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  /\  E. g 
g : C -1-1-onto-> D )  ->  ( A  ^m  C )  ~~  ( B  ^m  D ) )
1081, 2, 107syl2anb 467 1  |-  ( ( A  ~~  B  /\  C  ~~  D )  -> 
( A  ^m  C
)  ~~  ( B  ^m  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2740   class class class wbr 3963    _I cid 4241   `'ccnv 4625   dom cdm 4626   ran crn 4627    |` cres 4628    o. ccom 4630    Fn wfn 4633   -->wf 4634   -1-1->wf1 4635   -onto->wfo 4636   -1-1-onto->wf1o 4637  (class class class)co 5757    ^m cmap 6705    ~~ cen 6793
This theorem is referenced by:  mapdom1  6959  mapdom2  6965  pwen  6967  mappwen  7672  mapcdaen  7743  cfpwsdom  8139  rpnnen  12432  rexpen  12433
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-map 6707  df-en 6797
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