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Theorem mapen 7020
Description: Two set exponentiations are equinumerous when their bases and exponents are equinumerous. Theorem 6H(c) of [Enderton] p. 139. (Contributed by NM, 16-Dec-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapen  |-  ( ( A  ~~  B  /\  C  ~~  D )  -> 
( A  ^m  C
)  ~~  ( B  ^m  D ) )

Proof of Theorem mapen
StepHypRef Expression
1 bren 6866 . 2  |-  ( A 
~~  B  <->  E. f 
f : A -1-1-onto-> B )
2 bren 6866 . 2  |-  ( C 
~~  D  <->  E. g 
g : C -1-1-onto-> D )
3 eeanv 1865 . . 3  |-  ( E. f E. g ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  <->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  /\  E. g  g : C -1-1-onto-> D ) )
4 ovex 5844 . . . . . 6  |-  ( A  ^m  C )  e. 
_V
54a1i 12 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  ( A  ^m  C )  e. 
_V )
6 ovex 5844 . . . . . 6  |-  ( B  ^m  D )  e. 
_V
76a1i 12 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  ( B  ^m  D )  e. 
_V )
8 elmapi 6787 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( A  ^m  C )  ->  x : C --> A )
9 f1of 5437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A
--> B )
109adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  f : A --> B )
11 fco 5363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A --> B  /\  x : C --> A )  ->  ( f  o.  x ) : C --> B )
1210, 11sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  x : C --> A )  ->  (
f  o.  x ) : C --> B )
13 f1ocnv 5450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : C -1-1-onto-> D  ->  `' g : D -1-1-onto-> C )
1413adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  `' g : D -1-1-onto-> C )
15 f1of 5437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' g : D -1-1-onto-> C  ->  `' g : D --> C )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  `' g : D --> C )
1716adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  x : C --> A )  ->  `' g : D --> C )
18 fco 5363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  o.  x
) : C --> B  /\  `' g : D --> C )  ->  (
( f  o.  x
)  o.  `' g ) : D --> B )
1912, 17, 18syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  x : C --> A )  ->  (
( f  o.  x
)  o.  `' g ) : D --> B )
2019ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
x : C --> A  -> 
( ( f  o.  x )  o.  `' g ) : D --> B ) )
218, 20syl5 30 . . . . . 6  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
x  e.  ( A  ^m  C )  -> 
( ( f  o.  x )  o.  `' g ) : D --> B ) )
22 f1ofo 5444 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A -onto-> B )
2322adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  f : A -onto-> B )
24 forn 5419 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A -onto-> B  ->  ran  f  =  B
)
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  ran  f  =  B )
26 vex 2792 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
2726rnex 4941 . . . . . . . 8  |-  ran  f  e.  _V
2825, 27syl6eqelr 2373 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  B  e.  _V )
29 f1ofo 5444 . . . . . . . . . 10  |-  ( g : C -1-1-onto-> D  ->  g : C -onto-> D )
3029adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  g : C -onto-> D )
31 forn 5419 . . . . . . . . 9  |-  ( g : C -onto-> D  ->  ran  g  =  D
)
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  ran  g  =  D )
33 vex 2792 . . . . . . . . 9  |-  g  e. 
_V
3433rnex 4941 . . . . . . . 8  |-  ran  g  e.  _V
3532, 34syl6eqelr 2373 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  D  e.  _V )
36 elmapg 6780 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  _V  /\  D  e.  _V )  ->  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  e.  ( B  ^m  D
)  <->  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) : D --> B ) )
3728, 35, 36syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
( ( f  o.  x )  o.  `' g )  e.  ( B  ^m  D )  <-> 
( ( f  o.  x )  o.  `' g ) : D --> B ) )
3821, 37sylibrd 227 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
x  e.  ( A  ^m  C )  -> 
( ( f  o.  x )  o.  `' g )  e.  ( B  ^m  D ) ) )
39 elmapi 6787 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( B  ^m  D )  ->  y : D --> B )
40 f1ocnv 5450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  `' f : B -1-1-onto-> A )
4140adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  `' f : B -1-1-onto-> A )
42 f1of 5437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' f : B -1-1-onto-> A  ->  `' f : B --> A )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  `' f : B --> A )
4443adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  y : D --> B )  ->  `' f : B --> A )
45 id 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( y : D --> B  -> 
y : D --> B )
46 f1of 5437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : C -1-1-onto-> D  ->  g : C
--> D )
4746adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  g : C --> D )
48 fco 5363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y : D --> B  /\  g : C --> D )  ->  ( y  o.  g ) : C --> B )
4945, 47, 48syl2anr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  y : D --> B )  ->  (
y  o.  g ) : C --> B )
50 fco 5363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' f : B --> A  /\  ( y  o.  g ) : C --> B )  ->  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) : C --> A )
5144, 49, 50syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  y : D --> B )  ->  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) : C --> A )
5251ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
y : D --> B  -> 
( `' f  o.  ( y  o.  g
) ) : C --> A ) )
5339, 52syl5 30 . . . . . 6  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
y  e.  ( B  ^m  D )  -> 
( `' f  o.  ( y  o.  g
) ) : C --> A ) )
54 f1odm 5441 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  dom  f  =  A )
5554adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  dom  f  =  A )
5626dmex 4940 . . . . . . . 8  |-  dom  f  e.  _V
5755, 56syl6eqelr 2373 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  A  e.  _V )
58 f1odm 5441 . . . . . . . . 9  |-  ( g : C -1-1-onto-> D  ->  dom  g  =  C )
5958adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  dom  g  =  C )
6033dmex 4940 . . . . . . . 8  |-  dom  g  e.  _V
6159, 60syl6eqelr 2373 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  C  e.  _V )
62 elmapg 6780 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( `' f  o.  ( y  o.  g ) )  e.  ( A  ^m  C
)  <->  ( `' f  o.  ( y  o.  g ) ) : C --> A ) )
6357, 61, 62syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
( `' f  o.  ( y  o.  g
) )  e.  ( A  ^m  C )  <-> 
( `' f  o.  ( y  o.  g
) ) : C --> A ) )
6453, 63sylibrd 227 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
y  e.  ( B  ^m  D )  -> 
( `' f  o.  ( y  o.  g
) )  e.  ( A  ^m  C ) ) )
65 coass 5189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  o.  `' f )  o.  ( y  o.  g ) )  =  ( f  o.  ( `' f  o.  ( y  o.  g
) ) )
66 f1ococnv2 5465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  ( f  o.  `' f )  =  (  _I  |`  B ) )
6766ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( f  o.  `' f )  =  (  _I  |`  B ) )
6867coeq1d 4844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  `' f )  o.  ( y  o.  g ) )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  ( y  o.  g ) ) )
6949adantrl 699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( y  o.  g ) : C --> B )
70 fcoi2 5381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  o.  g ) : C --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  ( y  o.  g ) )  =  ( y  o.  g
) )
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( (  _I  |`  B )  o.  (
y  o.  g ) )  =  ( y  o.  g ) )
7268, 71eqtrd 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  `' f )  o.  ( y  o.  g ) )  =  ( y  o.  g
) )
7365, 72syl5eqr 2330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( f  o.  ( `' f  o.  ( y  o.  g
) ) )  =  ( y  o.  g
) )
7473eqeq2d 2295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  =  ( f  o.  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) )  <->  ( f  o.  x )  =  ( y  o.  g ) ) )
75 coass 5189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  o.  x
)  o.  `' g )  o.  g )  =  ( ( f  o.  x )  o.  ( `' g  o.  g ) )
76 f1ococnv1 5467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : C -1-1-onto-> D  ->  ( `' g  o.  g )  =  (  _I  |`  C ) )
7776ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( `' g  o.  g )  =  (  _I  |`  C ) )
7877coeq2d 4845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  o.  ( `' g  o.  g ) )  =  ( ( f  o.  x )  o.  (  _I  |`  C ) ) )
7912adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( f  o.  x ) : C --> B )
80 fcoi1 5380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  o.  x ) : C --> B  -> 
( ( f  o.  x )  o.  (  _I  |`  C ) )  =  ( f  o.  x ) )
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  o.  (  _I  |`  C ) )  =  ( f  o.  x ) )
8278, 81eqtrd 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  o.  ( `' g  o.  g ) )  =  ( f  o.  x
) )
8375, 82syl5eq 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  o.  g )  =  ( f  o.  x
) )
8483eqeq2d 2295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( y  o.  g )  =  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  o.  g )  <->  ( y  o.  g )  =  ( f  o.  x ) ) )
85 eqcom 2286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  o.  g )  =  ( f  o.  x )  <->  ( f  o.  x )  =  ( y  o.  g ) )
8684, 85syl6bb 254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( y  o.  g )  =  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  o.  g )  <->  ( f  o.  x )  =  ( y  o.  g ) ) )
8774, 86bitr4d 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  =  ( f  o.  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) )  <->  ( y  o.  g )  =  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  o.  g
) ) )
88 f1of1 5436 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A -1-1-> B )
8988ad2antrr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  f : A -1-1-> B )
90 simprl 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  x : C --> A )
9151adantrl 699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( `' f  o.  ( y  o.  g ) ) : C --> A )
92 cocan1 5762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  x : C --> A  /\  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) : C --> A )  ->  ( ( f  o.  x )  =  ( f  o.  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) )  <->  x  =  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) ) )
9389, 90, 91, 92syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  =  ( f  o.  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) )  <->  x  =  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) ) )
9430adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  g : C -onto-> D )
95 ffn 5354 . . . . . . . . . 10  |-  ( y : D --> B  -> 
y  Fn  D )
9695ad2antll 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  y  Fn  D
)
9719adantrr 700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) : D --> B )
98 ffn 5354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  o.  x
)  o.  `' g ) : D --> B  -> 
( ( f  o.  x )  o.  `' g )  Fn  D
)
9997, 98syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  Fn  D )
100 cocan2 5763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : C -onto-> D  /\  y  Fn  D  /\  ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  Fn  D
)  ->  ( (
y  o.  g )  =  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  o.  g )  <->  y  =  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) ) )
10194, 96, 99, 100syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( y  o.  g )  =  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  o.  g )  <->  y  =  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) ) )
10287, 93, 1013bitr3d 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( x  =  ( `' f  o.  ( y  o.  g
) )  <->  y  =  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) ) )
103102ex 425 . . . . . 6  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
( x : C --> A  /\  y : D --> B )  ->  (
x  =  ( `' f  o.  ( y  o.  g ) )  <-> 
y  =  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) ) ) )
1048, 39, 103syl2ani 640 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
( x  e.  ( A  ^m  C )  /\  y  e.  ( B  ^m  D ) )  ->  ( x  =  ( `' f  o.  ( y  o.  g ) )  <->  y  =  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) ) ) )
1055, 7, 38, 64, 104en3d 6893 . . . 4  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  ( A  ^m  C )  ~~  ( B  ^m  D ) )
106105exlimivv 1671 . . 3  |-  ( E. f E. g ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  ( A  ^m  C )  ~~  ( B  ^m  D ) )
1073, 106sylbir 206 . 2  |-  ( ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  /\  E. g 
g : C -1-1-onto-> D )  ->  ( A  ^m  C )  ~~  ( B  ^m  D ) )
1081, 2, 107syl2anb 467 1  |-  ( ( A  ~~  B  /\  C  ~~  D )  -> 
( A  ^m  C
)  ~~  ( B  ^m  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1533    = wceq 1628    e. wcel 1688   _Vcvv 2789   class class class wbr 4024    _I cid 4303   `'ccnv 4687   dom cdm 4688   ran crn 4689    |` cres 4690    o. ccom 4692    Fn wfn 5216   -->wf 5217   -1-1->wf1 5218   -onto->wfo 5219   -1-1-onto->wf1o 5220  (class class class)co 5819    ^m cmap 6767    ~~ cen 6855
This theorem is referenced by:  mapdom1  7021  mapdom2  7027  pwen  7029  mappwen  7734  mapcdaen  7805  cfpwsdom  8201  rpnnen  12499  rexpen  12500
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-map 6769  df-en 6859
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