Theorem mapen 4477

Description: Two set exponentiations are equinumerous when their bases and exponents are equinumerous. Theorem 6H(c) of [Enderton] p. 139.

Hypotheses

Ref	Expression
mapen.1	|- A e. V
mapen.2	|- B e. V
mapen.3	|- C e. V
mapen.4	|- D e. V

Assertion

Ref	Expression
mapen	|- ((A ~~ B /\ C ~~ D) -> (A ^m C) ~~ (B ^m D))

Proof of Theorem mapen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapen.1	. . . . . . . 8 |- A e. V
2		mapen.2	. . . . . . . 8 |- B e. V
3		mapen.3	. . . . . . . 8 |- C e. V
4		mapen.4	. . . . . . . 8 |- D e. V
5		eqid 1473	. . . . . . . 8 |- {<.x, y>. | (x e. (A ^m C) /\ y = ((f o. x) o. `'g))} = {<.x, y>. | (x e. (A ^m C) /\ y = ((f o. x) o. `'g))}
6	1, 2, 3, 4, 5	mapenlem2 4476	. . . . . . 7 |- ((f:A-1-1-onto->B /\ g:C-1-1-onto->D) -> {<.x, y>. | (x e. (A ^m C) /\ y = ((f o. x) o. `'g))}:(A ^m C)-1-1-onto->(B ^m D))
7		oprex 3974	. . . . . . . 8 |- (A ^m C) e. V
8	7	f1oen 4385	. . . . . . 7 |- ({<.x, y>. | (x e. (A ^m C) /\ y = ((f o. x) o. `'g))}:(A ^m C)-1-1-onto->(B ^m D) -> (A ^m C) ~~ (B ^m D))
9	6, 8	syl 10	. . . . . 6 |- ((f:A-1-1-onto->B /\ g:C-1-1-onto->D) -> (A ^m C) ~~ (B ^m D))
10	9	ex 373	. . . . 5 |- (f:A-1-1-onto->B -> (g:C-1-1-onto->D -> (A ^m C) ~~ (B ^m D)))
11	10	19.23aiv 1293	. . . 4 |- (E.f f:A-1-1-onto->B -> (g:C-1-1-onto->D -> (A ^m C) ~~ (B ^m D)))
12	11	19.23adv 1212	. . 3 |- (E.f f:A-1-1-onto->B -> (E.g g:C-1-1-onto->D -> (A ^m C) ~~ (B ^m D)))
13	12	imp 350	. 2 |- ((E.f f:A-1-1-onto->B /\ E.g g:C-1-1-onto->D) -> (A ^m C) ~~ (B ^m D))
14	2	bren 4365	. 2 |- (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B)
15	4	bren 4365	. 2 |- (C ~~ D <-> E.g g:C-1-1-onto->D)
16	13, 14, 15	syl2anb 455	1 |- ((A ~~ B /\ C ~~ D) -> (A ^m C) ~~ (B ^m D))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  Vcvv 1807   class class class wbr 2614  {copab 2661  `'ccnv 3164   o. ccom 3169  -1-1-onto->wf1o 3176  (class class class)co 3954   ^m cm 4312   ~~ cen 4354

This theorem is referenced by:  mapdom1 4478  mapdom2 4480  pwen 4489  mapcdaen 4912  infmap1 7524

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-map 4314  df-en 4357

Copyright terms: Public domain