MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapprc Unicode version

Theorem mapprc 6730
Description: When  A is a proper class, the class of all functions mapping  A to  B is empty. Exercise 4.41 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
mapprc  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { f  |  f : A --> B }  =  (/) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f

Proof of Theorem mapprc
StepHypRef Expression
1 abn0 3434 . . 3  |-  ( { f  |  f : A --> B }  =/=  (/)  <->  E. f  f : A --> B )
2 fdm 5317 . . . . 5  |-  ( f : A --> B  ->  dom  f  =  A
)
3 vex 2760 . . . . . 6  |-  f  e. 
_V
43dmex 4915 . . . . 5  |-  dom  f  e.  _V
52, 4syl6eqelr 2345 . . . 4  |-  ( f : A --> B  ->  A  e.  _V )
65exlimiv 2024 . . 3  |-  ( E. f  f : A --> B  ->  A  e.  _V )
71, 6sylbi 189 . 2  |-  ( { f  |  f : A --> B }  =/=  (/) 
->  A  e.  _V )
87necon1bi 2462 1  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { f  |  f : A --> B }  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2242    =/= wne 2419   _Vcvv 2757   (/)c0 3416   dom cdm 4647   -->wf 4655
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-cnv 4663  df-dm 4665  df-rn 4666  df-fn 4670  df-f 4671
  Copyright terms: Public domain W3C validator