Theorem mapprc 4332

Description: When A is a proper class, the class of all functions mapping A to B is empty. Exercise 4.41 of [Mendelson] p. 255.

Assertion

Ref	Expression
mapprc	|- (-. A e. V -> {f | f:A-->B} = (/))

Distinct variable groups:   A,f   B,f

Proof of Theorem mapprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0 2294	. . 3 |- ({f | f:A-->B} =/= (/) <-> E.f f:A-->B)
2		fdm 3637	. . . . 5 |- (f:A-->B -> dom f = A)
3		visset 1816	. . . . . 6 |- f e. V
4	3	dmex 3366	. . . . 5 |- dom f e. V
5	2, 4	syl6eqelr 1560	. . . 4 |- (f:A-->B -> A e. V)
6	5	19.23aiv 1297	. . 3 |- (E.f f:A-->B -> A e. V)
7	1, 6	sylbi 199	. 2 |- ({f | f:A-->B} =/= (/) -> A e. V)
8	7	necon1bi 1612	1 |- (-. A e. V -> {f | f:A-->B} = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  {cab 1466   =/= wne 1588  Vcvv 1814  (/)c0 2283  dom cdm 3176  -->wf 3184

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195  df-fn 3199  df-f 3200

Copyright terms: Public domain