Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapsnen Unicode version

Theorem mapsnen 6938
 Description: Set exponentiation to a singleton exponent is equinumerous to its base. Exercise 4.43 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 17-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mapsnen.1
mapsnen.2
Assertion
Ref Expression
mapsnen

Proof of Theorem mapsnen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 5883 . 2
2 mapsnen.1 . 2
3 fvex 5539 . . 3
43a1i 10 . 2
5 snex 4216 . . 3
65a1i 10 . 2
7 mapsnen.2 . . . . . . 7
82, 7mapsn 6809 . . . . . 6
98abeq2i 2390 . . . . 5
109anbi1i 676 . . . 4
11 r19.41v 2693 . . . 4
12 df-rex 2549 . . . 4
1310, 11, 123bitr2i 264 . . 3
14 fveq1 5524 . . . . . . . . . 10
15 vex 2791 . . . . . . . . . . 11
167, 15fvsn 5713 . . . . . . . . . 10
1714, 16syl6eq 2331 . . . . . . . . 9
1817eqeq2d 2294 . . . . . . . 8
19 equcom 1647 . . . . . . . 8
2018, 19syl6bb 252 . . . . . . 7
2120pm5.32i 618 . . . . . 6
2221anbi2i 675 . . . . 5
23 anass 630 . . . . 5
24 ancom 437 . . . . 5
2522, 23, 243bitr2i 264 . . . 4
2625exbii 1569 . . 3
27 vex 2791 . . . 4
28 eleq1 2343 . . . . 5
29 opeq2 3797 . . . . . . 7
3029sneqd 3653 . . . . . 6
3130eqeq2d 2294 . . . . 5
3228, 31anbi12d 691 . . . 4
3327, 32ceqsexv 2823 . . 3
3413, 26, 333bitri 262 . 2
351, 2, 4, 6, 34en2i 6899 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 358  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684  wrex 2544  cvv 2788  csn 3640  cop 3643   class class class wbr 4023  cfv 5255  (class class class)co 5858   cmap 6772   cen 6860 This theorem is referenced by:  map2xp  7031  mapdom3  7033  ackbij1lem5  7850  pwxpndom2  8287  hashmap  11387 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-en 6864
 Copyright terms: Public domain W3C validator